Download irrational number

© T Madas
Natural Numbers (¥)
E.g. 1, 2, 3 …
Integers (¢ )
E.g. … -3, -2, -1, 0,1, 2, 3 …
Rational Numbers (¤ )
E.g. 17, -10, -½, -0.65, 0.333 etc
Real Numbers (¡ )
Complex Numbers (£ )
Add zero and
negative integers
Add fractions and
decimals which can be
represented by fractions
Add
irrational numbers such
as the square roots and
π
Add
imaginary numbers
© T Madas
Natural Numbers (¥)
E.g. 1, 2, 3 …
Integers (¢ )
E.g. … -3, -2, -1, 0,1, 2, 3 …
Rational Numbers (¤ )
E.g. 17, -10, -½, -0.65, 0.333 etc
Real Numbers (¡ )
Complex Numbers (£ )
Add zero and
negative integers
Add fractions and
decimals which can be
represented by fractions
Add
irrational numbers such
as the square roots and
π
Add
imaginary numbers
© T Madas
Rational
or Irrational?
It doesn’t quite work like this with numbers
© T Madas
Rational
or Irrational?
It doesn’t quite work like this with numbers
© T Madas
What is an irrational number?
It is a number which when written in decimal form:
it has an infinite number of decimal digits which
appear with no pattern whatsoever
The formal definition of an irrational number:
It is a number that cannot be written as a fraction
with integer numerator and denominator
The constant ratio of a circle’s circumference is an
irrational number, which is given approximately by:
3.141592653589793238462643383279502884197 [40 d.p.]
We know this irrational number as
π
Infinite decimal places, no pattern, there is no fraction equal to
π
© T Madas
π ≈ 1000 decimal places
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816
406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231
725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810
975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326
648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715
364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759
591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891
227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860
943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827
785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279
689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211
349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308
253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147
303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226
806613001927876611195909216420198
© T Madas
π ≈ 5000 decimal places
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253
5940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339
3607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186
1173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171
7629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611
2129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171
0100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164
2019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557485724245415069595082953311686172
7855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534
6462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417
2164121992458631503028618297455570674983850549458858692699569092721079750930295532116534498720275596023648066549911988183479775356636980742654
2527862551818417574672890977772793800081647060016145249192173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547
7624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252
0511739298489608412848862694560424196528502221066118630674427862203919494504712371378696095636437191728746776465757396241389086583264599581339
0478027590099465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190
6592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538
3673622262609912460805124388439045124413654976278079771569143599770012961608944169486855584840635342207222582848864815845602850601684273945226
7467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035593634568174324112515076069479451096596094025228879710893145669136867228748
9405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343
6454285844479526586782105114135473573952311342716610213596953623144295248493718711014576540359027993440374200731057853906219838744780847848968
3321445713868751943506430218453191048481005370614680674919278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748
9409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054
1466592520149744285073251866600213243408819071048633173464965145390579626856100550810665879699816357473638405257145910289706414011097120628043
9039759515677157700420337869936007230558763176359421873125147120532928191826186125867321579198414848829164470609575270695722091756711672291098
1690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618
3515565088490998985998238734552833163550764791853589322618548963213293308985706420467525907091548141654985946163718027098199430992448895757128
2890592323326097299712084433573265489382391193259746366730583604142813883032038249037589852437441702913276561809377344403070746921120191302033
0380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252
7162010526522721116603966655730925471105578537634668206531098965269186205647693125705863566201855810072936065987648611791045334885034611365768
6753249441668039626579787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800700237877659134401712749470420562230538994561314071127000407
8547332699390814546646458807972708266830634328587856983052358089330657574067954571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592309
9079654737612551765675135751782966645477917450112996148903046399471329621073404375189573596145890193897131117904297828564750320319869151402870
8085990480109412147221317947647772622414254854540332157185306142288137585043063321751829798662237172159160771669254748738986654949450114654062
8433663937900397692656721463853067360965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921337575114959501
5660496318629472654736425230817703675159067350235072835405670403867435136222247715891504953098444893330963408780769325993978054193414473774418
42631298608099888687413260472
© T Madas
π ≈ 10000 decimal places
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384 4609550582231725359408128481117450284102701938521105559
64462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458 7006606315588174881520920962829254091715364367892590360
01133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122 7938183011949129833673362440656643086021394946395224737
19070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495 3430146549585371050792279689258923542019956112129021960
86403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193 1188171010003137838752886587533208381420617177669147303
59825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642019893809525720106548586327886 5936153381827968230301952035301852968995773622599413891
24972177528347913151557485724245415069595082953311686172785588907509838175463746493931925506040092770167113900984882401285836 1603563707660104710181942955596198946767837449448255379
77472684710404753464620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419 9272604269922796782354781636009341721641219924586315030
28618297455570674983850549458858692699569092721079750930295532116534498720275596023648066549911988183479775356636980742654252 7862551818417574672890977772793800081647060016145249192
17321721477235014144197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333454776241686251898356948556209921922218427255 0254256887671790494601653466804988627232791786085784383
82796797668145410095388378636095068006422512520511739298489608412848862694560424196528502221066118630674427862203919494504712 3713786960956364371917287467764657573962413890865832645
99581339047802759009946576407895126946839835259570982582262052248940772671947826848260147699090264013639443745530506820349625 2451749399651431429809190659250937221696461515709858387
41059788595977297549893016175392846813826868386894277415599185592524595395943104997252468084598727364469584865383673622262609 9124608051243884390451244136549762780797715691435997700
12961608944169486855584840635342207222582848864815845602850601684273945226746767889525213852254995466672782398645659611635488 6230577456498035593634568174324112515076069479451096596
09402522887971089314566913686722874894056010150330861792868092087476091782493858900971490967598526136554978189312978482168299 8948722658804857564014270477555132379641451523746234364
54285844479526586782105114135473573952311342716610213596953623144295248493718711014576540359027993440374200731057853906219838 7447808478489683321445713868751943506430218453191048481
00537061468067491927819119793995206141966342875444064374512371819217999839101591956181467514269123974894090718649423196156794 5208095146550225231603881930142093762137855956638937787
08303906979207734672218256259966150142150306803844773454920260541466592520149744285073251866600213243408819071048633173464965 1453905796268561005508106658796998163574736384052571459
10289706414011097120628043903975951567715770042033786993600723055876317635942187312514712053292819182618612586732157919841484 8829164470609575270695722091756711672291098169091528017
35067127485832228718352093539657251210835791513698820914442100675103346711031412671113699086585163983150197016515116851714376 5761835155650884909989859982387345528331635507647918535
89322618548963213293308985706420467525907091548141654985946163718027098199430992448895757128289059232332609729971208443357326 5489382391193259746366730583604142813883032038249037589
85243744170291327656180937734440307074692112019130203303801976211011004492932151608424448596376698389522868478312355265821314 4957685726243344189303968642624341077322697802807318915
44110104468232527162010526522721116603966655730925471105578537634668206531098965269186205647693125705863566201855810072936065 9876486117910453348850346113657686753249441668039626579
78771855608455296541266540853061434443185867697514566140680070023787765913440171274947042056223053899456131407112700040785473 3269939081454664645880797270826683063432858785698305235
80893306575740679545716377525420211495576158140025012622859413021647155097925923099079654737612551765675135751782966645477917 4501129961489030463994713296210734043751895735961458901
93897131117904297828564750320319869151402870808599048010941214722131794764777262241425485454033215718530614228813758504306332 1751829798662237172159160771669254748738986654949450114
65406284336639379003976926567214638530673609657120918076383271664162748888007869256029022847210403172118608204190004229661711 9637792133757511495950156604963186294726547364252308177
03675159067350235072835405670403867435136222247715891504953098444893330963408780769325993978054193414473774418426312986080998 8868741326047215695162396586457302163159819319516735381
29741677294786724229246543668009806769282382806899640048243540370141631496589794092432378969070697794223625082216889573837986 2300159377647165122893578601588161755782973523344604281
51262720373431465319777741603199066554187639792933441952154134189948544473456738316249934191318148092777710386387734317720754 5654532207770921201905166096280490926360197598828161332
31666365286193266863360627356763035447762803504507772355471058595487027908143562401451718062464362679456127531813407833033625 4232783944975382437205835311477119926063813346776879695
97030983391307710987040859133746414428227726346594704745878477872019277152807317679077071572134447306057007334924369311383504 9316312840425121925651798069411352801314701304781643788
51852909285452011658393419656213491434159562586586557055269049652098580338507224264829397285847831630577775606888764462482468 5792603953527734803048029005876075825104747091643961362
67604492562742042083208566119062545433721315359584506877246029016187667952406163425225771954291629919306455377991403734043287 5262888963995879475729174642635745525407909145135711136
94109119393251910760208252026187985318877058429725916778131496990090192116971737278476847268608490033770242429165130050051683 2336435038951702989392233451722013812806965011784408745
19601212285993716231301711444846409038906449544400619869075485160263275052983491874078668088183385102283345085048608250393021 3321971551843063545500766828294930413776552793975175461
39539846833936383047461199665385815384205685338621867252334028308711232827892125077126294632295639898989358211674562701021835 6462201349671518819097303811980049734072396103685406643
19395097901906996395524530054505806855019567302292191393391856803449039820595510022635353619204199474553859381023439554495977 8377902374216172711172364343543947822181852862408514006
66044332588856986705431547069657474585503323233421073015459405165537906866273337995851156257843229882737231989875714159578111 9635833005940873068121602876496286744604774649159950549
73742562690104903778198683593814657412680492564879855614537234786733039046883834363465537949864192705638729317487233208376011 2302991136793862708943879936201629515413371424892830722
01269014754668476535761647737946752004907571555278196536213239264061601363581559074220202031872776052772190055614842555187925 3034351398442532234157623361064250639049750086562710953
59194658975141310348227693062474353632569160781547818115284366795706110861533150445212747392454494542368288606134084148637767 0096120715124914043027253860764823634143346235189757664
52164137679690314950191085759844239198629164219399490723623464684411739403265918404437805133389452574239950829659122850855582 1572503107125701266830240292952522011872676756220415420
51618416348475651699981161410100299607838690929160302884002691041407928862150784245167090870006992821206604183718065355672525 3256753286129104248776182582976515795984703562226293486
00341587229805349896502262917487882027342092222453398562647669149055628425039127577102840279980663658254889264880254566101729 6702664076559042909945681506526530537182941270336931378
51786090407086671149655834343476933857817113864558736781230145876871266034891390956200993936103102916161528813843790990423174 7336394804575931493140529763475748119356709110137751721
00803155902485309066920376719220332290943346768514221447737939375170344366199104033751117354719185504644902636551281622882446 2575916333039107225383742182140883508657391771509682887
47826569959957449066175834413752239709683408005355984917541738188399944697486762655165827658483588453142775687900290951702835 2971634456212964043523117600665101241200659755851276178
58382920419748442360800719304576189323492292796501987518721272675079812554709589045563579212210333466974992356302549478024901 1419521238281530911407907386025152274299581807247162591
66854513331239480494707911915326734302824418604142636395480004480026704962482017928964766975831832713142517029692348896276684 4032326092752496035799646925650493681836090032380929345
95889706953653494060340216654437558900456328822505452556405644824651518754711962184439658253375438856909411303150952617937800 2974120766514793942590298969594699556576121865619673378
62362561252163208628692221032748892186543648022967807057656151446320469279068212073883778142335628236089632080682224680122482 6117718589638140918390367367222088832151375560037279839
40041529700287830766709444745601345564172543709069793961225714298946715435784687886144458123145935719849225284716050492212424 7014121478057345510500801908699603302763478708108175450
11930714122339086639383395294257869050764310063835198343893415961318543475464955697810382930971646514384070070736041123735998 4345225161050702705623526601276484830840761183013052793
205427462865403603674532865105706587488225698157936789766974220575059683440869735020141020672358502007245225632651341055924019027421624843914035998953539459094407046912091409387001
Never ends
It has no pattern
No fraction can be found equal to π
π is the most famous irrational number
© T Madas
All non exact roots
are
irrational numbers
[it can be proven using more advanced maths]
9 = rational
5 = irrational
3
10 = irrational
3
125 = rational
1
4
= rational
25
36
= rational
Why?
© T Madas
2 ≈ 1000 decimal places
1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732
478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
644121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559
971605970274534596862014728517418640889198609552329230484308714321450
839762603627995251407989687253396546331808829640620615258352395054745
750287759961729835575220337531857011354374603408498847160386899970699
004815030544027790316454247823068492936918621580578463111596668713013
015618568987237235288509264861249497715421833420428568606014682472077
143585487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208
558446652145839889394437092659180031138824646815708263010059485870400
318648034219489727829064104507263688131373985525611732204024509122770
022694112757362728049573810896750401836986836845072579936472906076299
694138047565482372899718032680247442062926912485905218100445984215059
112024944134172853147810580360337107730918286931471017111168391658172
688941975871658215212822951848847
© T Madas
2 ≈ 5000 decimal places
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441
2149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260
3627995251407989687253396546331808829640620615258352395054745750287759961729835575220337531857011354374603408498847160386899970699004815030544
0277903164542478230684929369186215805784631115966687130130156185689872372352885092648612494977154218334204285686060146824720771435854874155657
0696776537202264854470158588016207584749226572260020855844665214583988939443709265918003113882464681570826301005948587040031864803421948972782
9064104507263688131373985525611732204024509122770022694112757362728049573810896750401836986836845072579936472906076299694138047565482372899718
0326802474420629269124859052181004459842150591120249441341728531478105803603371077309182869314710171111683916581726889419758716582152128229518
4884720896946338628915628827659526351405422676532396946175112916024087155101351504553812875600526314680171274026539694702403005174953188629256
3138518816347800156936917688185237868405228783762938921430065586956868596459515550164472450983689603688732311438941557665104088391429233811320
6052433629485317049915771756228549741438999188021762430965206564211827316726257539594717255934637238632261482742622208671155839599926521176252
6989175409881593486400834570851814722318142040704265090565323333984364578657967965192672923998753666172159825788602633636178274959942194037777
5368142621773879919455139723127406689832998989538672882285637869774966251996658352577619893932284534473569479496295216889148549253890475582883
4526096524096542889394538646625744927556381964410316979833061852019379384940057156333720548068540575867999670121372239475821426306585132217408
8323829472876173936474678374319600015921888073478576172522118674904249773669292073110963697216089337086611567345853348332952546758516447107578
4860246360083444911481858765555428645512331421992631133251797060843655970435285641008791850076036100915946567067688360557174007675690509613671
9401324935605240185999105062108163597726431380605467010293569971042425105781749531057255934984451126922780344913506637568747760283162829605532
4224269575345290288387684464291732827708883180870253398523381227499908123718925407264753678503048215918018861671089728692292011975998807038185
4333253646021108229927929307287178079988809917674177410898306080032631181642798823117154363869661702999934161614878686018045505553986913115186
0103863753250045581860448040750241195184305674533683613674597374423988553285179308960373898915173195874134428817842125021916951875593444387396
1893145499999061075870490902608835176362247497578588583680374579311573398020999866221869499225959132764236194105921003280261498745665996888740
6795616739185957288864247346358588686449682238600698335264279905628316561391394255764906206518602164726303336297507569787060660685649816009271
8709292153132368281356988937097416504474590960537472796524477094099241238710614470543986743647338477454819100872886222149589529591187892149179
8339810837882781530655623158103606486758730360145022732088293513413872276841766784369052942869849083845574457940959862607424995491680285307739
8938296036213353987532050919989360751390644449576845699347127636450716327915470159773354863893942325727754003826027478567417258095141630715959
7849818009443560379390985590168272154034581581521004936662953448827107292396602321638238266612626830502572781169451035379371568823365932297823
1929860646797898640920856095581426143636310046155943325504744939759339991254195323009321753044765339647066276116617535187546462096763455873861
6488019884849747926404506544489691004079421181692579685756378488149898641685499491635761448404702103398921534237703723335311564594438970365316
6721949049351882905806307401346862641672470110653463493916407146285567980177933814424045269137066609777638784866238003392324370474115331872531
9060191659964553811578884138084332321053376746181217801429609283241136275254088737290512940733947943306194395693670207942951587822834932193166
6411130154959469837897767434443539337709957134988407890850815892366070088658105470949790465722988880892461282816013133701029080290999745647849
5815456146487155163905024198579061310934587833062002622073724716766854554999049940857108099257599288932366154382719550057816251330381531465779
0792686850080698442847915242427544102680575632156532206188575122511306393702536292716196825125919202521605870118959673224423926742373449076464
6727375347964598819149807931718002423855453886038368310800779182466462754117444250018727779518164383451463461299020763343017968554385631667723
5183893366670422221109391449302879638128398893117313084300421255501854985065294556377660314612559091046113847682823595924772286290426427361632
6458544339287726386034314980489639736332975488592568114929683612672589857383321643666348702347730261010613050729861153412994880877447311122954
26527516536659117301423606265
© T Madas
2 ≈ 10000 decimal places
1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483 6055850737212644121497099935831413222665927505592755799
95050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362799525140798968725 3396546331808829640620615258352395054745750287759961729
83557522033753185701135437460340849884716038689997069900481503054402779031645424782306849293691862158057846311159666871301301 5618568987237235288509264861249497715421833420428568606
01468247207714358548741556570696776537202264854470158588016207584749226572260020855844665214583988939443709265918003113882464 6815708263010059485870400318648034219489727829064104507
26368813137398552561173220402450912277002269411275736272804957381089675040183698683684507257993647290607629969413804756548237 2899718032680247442062926912485905218100445984215059112
02494413417285314781058036033710773091828693147101711116839165817268894197587165821521282295184884720896946338628915628827659 5263514054226765323969461751129160240871551013515045538
12875600526314680171274026539694702403005174953188629256313851881634780015693691768818523786840522878376293892143006558695686 8596459515550164472450983689603688732311438941557665104
08839142923381132060524336294853170499157717562285497414389991880217624309652065642118273167262575395947172559346372386322614 8274262220867115583959992652117625269891754098815934864
00834570851814722318142040704265090565323333984364578657967965192672923998753666172159825788602633636178274959942194037777536 8142621773879919455139723127406689832998989538672882285
63786977496625199665835257761989393228453447356947949629521688914854925389047558288345260965240965428893945386466257449275563 8196441031697983306185201937938494005715633372054806854
05758679996701213722394758214263065851322174088323829472876173936474678374319600015921888073478576172522118674904249773669292 0731109636972160893370866115673458533483329525467585164
47107578486024636008344491148185876555542864551233142199263113325179706084365597043528564100879185007603610091594656706768836 0557174007675690509613671940132493560524018599910506210
81635977264313806054670102935699710424251057817495310572559349844511269227803449135066375687477602831628296055324224269575345 2902883876844642917328277088831808702533985233812274999
08123718925407264753678503048215918018861671089728692292011975998807038185433325364602110822992792930728717807998880991767417 7410898306080032631181642798823117154363869661702999934
16161487868601804550555398691311518601038637532500455818604480407502411951843056745336836136745973744239885532851793089603738 9891517319587413442881784212502191695187559344438739618
93145499999061075870490902608835176362247497578588583680374579311573398020999866221869499225959132764236194105921003280261498 7456659968887406795616739185957288864247346358588686449
68223860069833526427990562831656139139425576490620651860216472630333629750756978706066068564981600927187092921531323682813569 8893709741650447459096053747279652447709409924123871061
44705439867436473384774548191008728862221495895295911878921491798339810837882781530655623158103606486758730360145022732088293 5134138722768417667843690529428698490838455744579409598
62607424995491680285307739893829603621335398753205091998936075139064444957684569934712763645071632791547015977335486389394232 5727754003826027478567417258095141630715959784981800944
35603793909855901682721540345815815210049366629534488271072923966023216382382666126268305025727811694510353793715688233659322 9782319298606467978986409208560955814261436363100461559
43325504744939759339991254195323009321753044765339647066276116617535187546462096763455873861648801988484974792640450654448969 1004079421181692579685756378488149898641685499491635761
44840470210339892153423770372333531156459443897036531667219490493518829058063074013468626416724701106534634939164071462855679 8017793381442404526913706660977763878486623800339232437
04741153318725319060191659964553811578884138084332321053376746181217801429609283241136275254088737290512940733947943306194395 6936702079429515878228349321931666411130154959469837897
76743444353933770995713498840789085081589236607008865810547094979046572298888089246128281601313370102908029099974564784958154 5614648715516390502419857906131093458783306200262207372
47167668545549990499408571080992575992889323661543827195500578162513303815314657790792686850080698442847915242427544102680575 6321565322061885751225113063937025362927161968251259192
02521605870118959673224423926742373449076464672737534796459881914980793171800242385545388603836831080077918246646275411744425 0018727779518164383451463461299020763343017968554385631
66772351838933666704222211093914493028796381283988931173130843004212555018549850652945563776603146125590910461138476828235959 2477228629042642736163264585443392877263860343149804896
39736332975488592568114929683612672589857383321643666348702347730261010613050729861153412994880877447311122954265275165366591 1730142360626525869077198217037098104644360477226739282
98741525930695620638471082740821849067372330587430297092428994817392440786937528440104439904852087885191419354151290068173517 0306938697059004742515765524807844736214410501620084544
41222559562029847259403528019067980680983003964539856859304586252606377974535599277472990648887454512424960763780108639001910 5809287476472075110923860595019543228160208879621516233
85216128752285180252928761832570371728574067639449098254644221846543088066105802015847284067126302545937989065081685713716566 8594130053319703659640337667414610495637651030836613489
31094780268129355733189055197052018451503996909866315251241161119259405528085649893195898345623319836834948808061715624391128 6631279784837197895336901527760054980551663501978555711
01405552976338412750446860464766318326611651820675012047669910987219104447440326894364159594279219944235537187042995592403140 9171284815854386600538571358363981630945240755700932516
82434416824083619792733728252154622469615332170268299509790890345948588783494396162043584224973971871139589273050921970549171 7696160044558089942787888036916943289459514722672292612
48506961731638094108218600452861026965475763043102560271523139694821355198214097165490973199928349256740974903922971263486934 1457493319804171807611196390227866407592243416776246623
62389131102703433045763681411283213263085822394562195980866129399962012341561763181743124200890149838485604808798646083935964 9236651429681257731432291456871682762199611827826953157
49838026246517590541039761812876042163861345022132627277566124411336107751955577495086563606737866506231856406991228018757417 8549466125327599769796059776059075648910666101583841720
28185304321190446577525542775437987260548817361982675816862832952607899322266836028385135122810593185910286415081570563197173 1518313625024359041463212239217663398268936825315053005
98915470290953719326620734112349474336788469020139049784285216341442921458955828784766939464642678122190497856363552633682780 5186009869924893778600239876916980765662194389854437080
59464333623338105874581623547560013659243524265714308346554576800237081467573252547025507476374716350678515991736937932510326 8276062864591461820472148637037077192692682362333472037
92459646918105261391530862802914409654825638730927304265446629290458960637519187114693453619733247895727070315309309019211991 9999361576500350398405406742538792752792272473356677060
78379113844889362613676570602636003151329520953952028548973844862561349244147086070866026763499787934208758361219471169942238 4848259591430452810706260150896913530301772006271705440
20906695149152745977197059476954740952102878725578568800221937177435581107939308833845586482772910086295545661413067212308487 4022712105868632338823741388442893815544464710575565146
84357029466350628938735698686883764803265195284146535173953027361201374203009867398385143219004360289826982935293994141292305 8038456502270721681516194101144982630136490087704839848
83860906533685990545838952031856480414932721423908651649994316592079659535694307231129116292867975171566889054393220356912933 2457020806719444049730494398140822782960279942454108316
66759214248351827238172050410392742888015562233807961475124335147310212845459448994449960007524375195701166834174474907958820 9951783676802323651767497230148745774272599476096219843
27148352986111902728735849052179759083741974860267060537462315300393752123678677528486921958571375542696848278363178611099336 8014391590597484285805451613023014397905701610889862777
96107506733326760486549292513997813905358822768937322049414839401355603565604421401761206051318068919899626061848318534018362 3782172663758045524719626617492542285280457144204857834
21132280085287042054889923412785548123676153770710425446986852199112283542663499971274836607624624182073646661712839474847328 0474430403344107200428727127567027956758242926271945458
05300266648996507956977817862194217200523716536946770419511191270462483605113028904643775114869488784961511884147191000125588 3836660677208411235153558811267789571558590412576261601
06751315358021242733187100063582495450409957940725479890031682651237311905566829151943053708489307869197428290490386037231160 9928342431712225099454715019286664878710795199518005463
38838443154817246354802445180308452734310006213710346257330600123497374435581809656784646415339051465691932456235314057791936 9898842364718352537580525771331120079710406831549266540
20260468068183914378272147690632424695171286367384431398333711761594186999346626234537345235679401241680922911636095637216745 2839170990914664850739205151605604737871061547021699607
46569309794426121469256159342564940191229895147325447151812632583688972822628332952403597007278633646045947071241747294687757 0595815734996284809956783925547424044899188707106967524
25077452012293608105741426532347240641621410333533405511045212617503590284037454591864504727624342071770929793540102140964645 0283683418040758608100140721619247717980985968111540446
443728568959286831977797786934641598469745133917741537904877880830022058335046746555323028587325835
Never ends
It has no pattern
No fraction can be found equal to 2
All non exact roots
are
irrational numbers
© T Madas
All non exact trigonometric ratios
are
irrational numbers
[it can be proven using more advanced maths]
sin 30° = rational
tan 60° = irrational
cos 71° = irrational
tan 45° = rational
sin 10° = irrational
cos 120° = irrational
© T Madas
sin45° ≈ 1000 decimal places
0.707106781186547524400844362104849039284835937688474036588339868995366
239231053519425193767163820786367506923115456148512462418027925368606
322060748549967915706611332963752796377899975250576391030285735054779
985802985137267298431007364258709320444599304776164615242154357160725
419881301813997625703994843626698273165904414820310307629176197527372
875143879980864917787610168765928505677187301704249423580193449985349
502407515272013895158227123911534246468459310790289231555798334356506
507809284493618617644254632430624748857710916710214284303007341236038
571792743707782853483882686011324272350792940081037923746132861300104
279223326072919944697218546329590015569412323407854131505029742935200
159324017109744863914532052253631844065686992762805866102012254561385
011347056378681364024786905448375200918493418422536289968236453038149
847069023782741186449859016340123721031463456242952609050222992107529
556012472067086426573905290180168553865459143465735508555584195829086
3444709879358291076064114759244236
© T Madas
sin45° ≈ 5000 decimal places
0.7071067811865475244008443621048490392848359376884740365883398689953662392310535194251937671638207863675069231154561485124624180279253686063220
6074854996791570661133296375279637789997525057639103028573505477998580298513726729843100736425870932044459930477616461524215435716072541988130
1813997625703994843626698273165904414820310307629176197527372875143879980864917787610168765928505677187301704249423580193449985349502407515272
0138951582271239115342464684593107902892315557983343565065078092844936186176442546324306247488577109167102142843030073412360385717927437077828
5348388268601132427235079294008103792374613286130010427922332607291994469721854632959001556941232340785413150502974293520015932401710974486391
4532052253631844065686992762805866102012254561385011347056378681364024786905448375200918493418422536289968236453038149847069023782741186449859
0163401237210314634562429526090502229921075295560124720670864265739052901801685538654591434657355085555841958290863444709879358291076064114759
2442360448473169314457814413829763175702711338266198473087556458012043577550675752276906437800263157340085637013269847351201502587476594314628
1569259408173900078468458844092618934202614391881469460715032793478434298229757775082236225491844801844366155719470778832552044195714616905660
3026216814742658524957885878114274870719499594010881215482603282105913658363128769797358627967318619316130741371311104335577919799963260588126
3494587704940796743200417285425907361159071020352132545282661666992182289328983982596336461999376833086079912894301316818089137479971097018888
7684071310886939959727569861563703344916499494769336441142818934887483125998329176288809946966142267236784739748147608444574274626945237791441
7263048262048271444697269323312872463778190982205158489916530926009689692470028578166860274034270287933999835060686119737910713153292566108704
4161914736438086968237339187159800007960944036739288086261059337452124886834646036555481848608044668543305783672926674166476273379258223553789
2430123180041722455740929382777714322756165710996315566625898530421827985217642820504395925038018050457973283533844180278587003837845254806835
9700662467802620092999552531054081798863215690302733505146784985521212552890874765528627967492225563461390172456753318784373880141581414802766
2112134787672645144193842232145866413854441590435126699261690613749954061859462703632376839251524107959009430835544864346146005987999403519092
7166626823010554114963964653643589039994404958837088705449153040016315590821399411558577181934830851499967080807439343009022752776993456557593
0051931876625022790930224020375120597592152837266841806837298687211994276642589654480186949457586597937067214408921062510958475937796722193698
0946572749999530537935245451304417588181123748789294291840187289655786699010499933110934749612979566382118097052960501640130749372832998444370
3397808369592978644432123673179294343224841119300349167632139952814158280695697127882453103259301082363151668148753784893530330342824908004635
9354646076566184140678494468548708252237295480268736398262238547049620619355307235271993371823669238727409550436443111074794764795593946074589
9169905418941390765327811579051803243379365180072511366044146756706936138420883392184526471434924541922787228970479931303712497745840142653869
9469148018106676993766025459994680375695322224788422849673563818225358163957735079886677431946971162863877001913013739283708629047570815357979
8924909004721780189695492795084136077017290790760502468331476724413553646198301160819119133306313415251286390584725517689685784411682966148911
5964930323398949320460428047790713071818155023077971662752372469879669995627097661504660876522382669823533138058308767593773231048381727936930
8244009942424873963202253272244845502039710590846289842878189244074949320842749745817880724202351051699460767118851861667655782297219485182658
3360974524675941452903153700673431320836235055326731746958203573142783990088966907212022634568533304888819392433119001696162185237057665936265
9530095829982276905789442069042166160526688373090608900714804641620568137627044368645256470366973971653097197846835103971475793911417466096583
3205565077479734918948883717221769668854978567494203945425407946183035044329052735474895232861494440446230641408006566850514540145499872823924
7907728073243577581952512099289530655467293916531001311036862358383427277499524970428554049628799644466183077191359775028908125665190765732889
5396343425040349221423957621213772051340287816078266103094287561255653196851268146358098412562959601260802935059479836612211963371186724538232
3363687673982299409574903965859001211927726943019184155400389591233231377058722125009363889759082191725731730649510381671508984277192815833861
7591946683335211110554695724651439819064199446558656542150210627750927492532647278188830157306279545523056923841411797962386143145213213680816
3229272169643863193017157490244819868166487744296284057464841806336294928691660821833174351173865130505306525364930576706497440438723655561477
132637582683295586507118031326
© T Madas
sin45° ≈ 1000 decimal places
0.70710678118654752440084436210484903928483593768847403658833986899536623923105351942519376716382078636750692311545614851246241 8027925368606322060748549967915706611332963752796377899
97525057639103028573505477998580298513726729843100736425870932044459930477616461524215435716072541988130181399762570399484362 6698273165904414820310307629176197527372875143879980864
91778761016876592850567718730170424942358019344998534950240751527201389515822712391153424646845931079028923155579833435650650 7809284493618617644254632430624748857710916710214284303
00734123603857179274370778285348388268601132427235079294008103792374613286130010427922332607291994469721854632959001556941232 3407854131505029742935200159324017109744863914532052253
63184406568699276280586610201225456138501134705637868136402478690544837520091849341842253628996823645303814984706902378274118 6449859016340123721031463456242952609050222992107529556
01247206708642657390529018016855386545914346573550855558419582908634447098793582910760641147592442360448473169314457814413829 7631757027113382661984730875564580120435775506757522769
06437800263157340085637013269847351201502587476594314628156925940817390007846845884409261893420261439188146946071503279347843 4298229757775082236225491844801844366155719470778832552
04419571461690566030262168147426585249578858781142748707194995940108812154826032821059136583631287697973586279673186193161307 4137131110433557791979996326058812634945877049407967432
00417285425907361159071020352132545282661666992182289328983982596336461999376833086079912894301316818089137479971097018888768 4071310886939959727569861563703344916499494769336441142
81893488748312599832917628880994696614226723678473974814760844457427462694523779144172630482620482714446972693233128724637781 9098220515848991653092600968969247002857816686027403427
02879339998350606861197379107131532925661087044161914736438086968237339187159800007960944036739288086261059337452124886834646 0365554818486080446685433057836729266741664762733792582
23553789243012318004172245574092938277771432275616571099631556662589853042182798521764282050439592503801805045797328353384418 0278587003837845254806835970066246780262009299955253105
40817988632156903027335051467849855212125528908747655286279674922255634613901724567533187843738801415814148027662112134787672 6451441938422321458664138544415904351266992616906137499
54061859462703632376839251524107959009430835544864346146005987999403519092716662682301055411496396465364358903999440495883708 8705449153040016315590821399411558577181934830851499967
08080743934300902275277699345655759300519318766250227909302240203751205975921528372668418068372986872119942766425896544801869 4945758659793706721440892106251095847593779672219369809
46572749999530537935245451304417588181123748789294291840187289655786699010499933110934749612979566382118097052960501640130749 3728329984443703397808369592978644432123673179294343224
84111930034916763213995281415828069569712788245310325930108236315166814875378489353033034282490800463593546460765661841406784 9446854870825223729548026873639826223854704962061935530
72352719933718236692387274095504364431110747947647955939460745899169905418941390765327811579051803243379365180072511366044146 7567069361384208833921845264714349245419227872289704799
31303712497745840142653869946914801810667699376602545999468037569532222478842284967356381822535816395773507988667743194697116 2863877001913013739283708629047570815357979892490900472
17801896954927950841360770172907907605024683314767244135536461983011608191191333063134152512863905847255176896857844116829661 4891159649303233989493204604280477907130718181550230779
71662752372469879669995627097661504660876522382669823533138058308767593773231048381727936930824400994242487396320225327224484 5502039710590846289842878189244074949320842749745817880
72420235105169946076711885186166765578229721948518265833609745246759414529031537006734313208362350553267317469582035731427839 9008896690721202263456853330488881939243311900169616218
52370576659362659530095829982276905789442069042166160526688373090608900714804641620568137627044368645256470366973971653097197 8468351039714757939114174660965833205565077479734918948
88371722176966885497856749420394542540794618303504432905273547489523286149444044623064140800656685051454014549987282392479077 2807324357758195251209928953065546729391653100131103686
23583834272774995249704285540496287996444661830771913597750289081256651907657328895396343425040349221423957621213772051340287 8160782661030942875612556531968512681463580984125629596
01260802935059479836612211963371186724538232336368767398229940957490396585900121192772694301918415540038959123323137705872212 5009363889759082191725731730649510381671508984277192815
83386175919466833352111105546957246514398190641994465586565421502106277509274925326472781888301573062795455230569238414117979 6238614314521321368081632292721696438631930171574902448
19868166487744296284057464841806336294928691660821833174351173865130505306525364930576706497440438723655561477132637582683295 5865071180313262934538599108518549052322180238613369641
49370762965347810319235541370410924533686165293715148546214497408696220393468764220052219952426043942595709677075645034086758 5153469348529502371257882762403922368107205250810042272
20611279781014923629701764009533990340491501982269928429652293126303188987267799638736495324443727256212480381890054319500955 2904643738236037555461930297509771614080104439810758116
92608064376142590126464380916285185864287033819724549127322110923271544033052901007923642033563151272968994532540842856858283 4297065026659851829820168833707305247818825515418306744
65547390134064677866594527598526009225751998454933157625620580559629702764042824946597949172811659918417474404030857812195564 3315639892418598947668450763880027490275831750989277855
50702776488169206375223430232383159163305825910337506023834955493609552223720163447182079797139609972117768593521497796201570 4585642407927193300269285679181990815472620377850466258
41217208412041809896366864126077311234807666085134149754895445172974294391747198081021792112486985935569794636525460985274585 8848080022279044971393944018458471644729757361336146306
24253480865819047054109300226430513482737881521551280135761569847410677599107048582745486599964174628370487451961485631743467 0728746659902085903805598195113933203796121708388123311
81194565551351716522881840705641606631542911197281097990433064699981006170780881590871562100445074919242802404399323041967982 4618325714840628865716145728435841381099805913913476578
74919013123258795270519880906438021081930672511066313638783062205668053875977788747543281803368933253115928203495614009378708 9274733062663799884898029888029537824455333050791920860
14092652160595223288762771387718993630274408680991337908431416476303949661133418014192567561405296592955143207540785281598586 5759156812512179520731606119608831699134468412657526502
99457735145476859663310367056174737168394234510069524892142608170721460729477914392383469732321339061095248928181776316841390 2593004934962446889300119938458490382831097194927218540
29732166811669052937290811773780006829621762132857154173277288400118540733786626273512753738187358175339257995868468966255163 4138031432295730910236074318518538596346341181166736018
96229823459052630695765431401457204827412819365463652132723314645229480318759593557346726809866623947863535157654654509605995 9999680788250175199202703371269396376396136236678338530
39189556922444681306838285301318001575664760476976014274486922431280674622073543035433013381749893967104379180609735584971119 2424129795715226405353130075448456765150886003135852720
10453347574576372988598529738477370476051439362789284400110968588717790553969654416922793241386455043147772830706533606154243 7011356052934316169411870694221446907772232355287782573
42178514733175314469367849343441882401632597642073267586976513680600687101504933699192571609502180144913491467646997070646152 9019228251135360840758097050572491315068245043852419924
41930453266842995272919476015928240207466360711954325824997158296039829767847153615564558146433987585783444527196610178456466 6228510403359722024865247199070411391480139971227054158
33379607124175913619086025205196371444007781116903980737562167573655106422729724497224980003762187597850583417087237453979410 4975891838401161825883748615074372887136299738048109921
63574176493055951364367924526089879541870987430133530268731157650196876061839338764243460979285687771348424139181589305549668 4007195795298742142902725806511507198952850805444931388
98053753366663380243274646256998906952679411384468661024707419700677801782802210700880603025659034459949813030924159267009181 1891086331879022762359813308746271142640228572102428917
10566140042643521027444961706392774061838076885355212723493426099556141771331749985637418303812312091036823330856419737423664 0237215201672053600214363563783513978379121463135972729
02650133324498253978488908931097108600261858268473385209755595635231241802556514452321887557434744392480755942073595500062794 1918330338604205617576779405633894785779295206288130800
53375657679010621366593550031791247725204978970362739945015841325618655952783414575971526854244653934598714145245193018615580 4964171215856112549727357509643332439355397599759002731
69419221577408623177401222590154226367155003106855173128665300061748687217790904828392323207669525732845966228117657028895968 4949421182359176268790262885665560039855203415774633270
10130234034091957189136073845316212347585643183692215699166855880797093499673313117268672617839700620840461455818047818608372 6419585495457332425369602575802802368935530773510849803
73284654897213060734628079671282470095614947573662723575906316291844486411314166476201798503639316823022973535620873647343878 5297907867498142404978391962773712022449594353553483762
12538726006146804052870713266173620320810705166766702755522606308751795142018727295932252363812171035885464896770051070482322 5141841709020379304050070360809623858990492984055770223
2218642844796434159888988934673207992348725669588707689524389404150110291675233732776615142936629175
Never ends
It has no pattern
No fraction can be found equal to sin 45°
All non exact
trigonometric ratios
are
irrational numbers
© T Madas
Look at the 500 decimal places of this number
0.0163934426229508196721311475409836065573770491803
2786885245901639344262295081967213114754098360655
7377049180327868852459016393442622950819672131147
5409836065573770491803278688524590163934426229508
1967213114754098360655737704918032786885245901639
3442622950819672131147540983606557377049180327868
8524590163934426229508196721311475409836065573770
4918032786885245901639344262295081967213114754098
3606557377049180327868852459016393442622950819672
1311475409836065573770491803278688524590163934426
22950819672
Is it rational or irrational?
© T Madas
Look at the 500 decimal places of this number
0.0163934426229508196721311475409836065573770491803
2786885245901639344262295081967213114754098360655
7377049180327868852459016393442622950819672131147
5409836065573770491803278688524590163934426229508
1967213114754098360655737704918032786885245901639
3442622950819672131147540983606557377049180327868
8524590163934426229508196721311475409836065573770
4918032786885245901639344262295081967213114754098
3606557377049180327868852459016393442622950819672
1311475409836065573770491803278688524590163934426
22950819672
Is it rational or irrational?
© T Madas
Look at the 500 decimal places of this number
0.0163934426229508196721311475409836065573770491803
2786885245901639344262295081967213114754098360655
7377049180327868852459016393442622950819672131147
5409836065573770491803278688524590163934426229508
1967213114754098360655737704918032786885245901639
3442622950819672131147540983606557377049180327868
8524590163934426229508196721311475409836065573770
4918032786885245901639344262295081967213114754098
3606557377049180327868852459016393442622950819672
1311475409836065573770491803278688524590163934426
22950819672
Is it rational or irrational?
© T Madas
Look at the 500 decimal places of this number
0.0163934426229508196721311475409836065573770491803
2786885245901639344262295081967213114754098360655
7377049180327868852459016393442622950819672131147
5409836065573770491803278688524590163934426229508
1967213114754098360655737704918032786885245901639
3442622950819672131147540983606557377049180327868
8524590163934426229508196721311475409836065573770
4918032786885245901639344262295081967213114754098
3606557377049180327868852459016393442622950819672
1311475409836065573770491803278688524590163934426
22950819672
Is it rational or irrational?
© T Madas
Look at the 500 decimal places of this number
1
61
0.0163934426229508196721311475409836065573770491803
2786885245901639344262295081967213114754098360655
7377049180327868852459016393442622950819672131147
5409836065573770491803278688524590163934426229508
1967213114754098360655737704918032786885245901639
3442622950819672131147540983606557377049180327868
8524590163934426229508196721311475409836065573770
4918032786885245901639344262295081967213114754098
3606557377049180327868852459016393442622950819672
1311475409836065573770491803278688524590163934426
22950819672
Is it rational or irrational?
This decimal has a 60 digit recurring pattern
Recurring decimals are not irrational numbers
Recurring decimals can always be written as fractions
© T Madas
Summary on Irrational Numbers
An irrational number, when written in decimal
form, it has an infinite number of decimal digits with
no pattern whatsoever.
or more formally:
It is a number that cannot be written as a fraction with integer
numerator and denominator
Examples of irrational numbers:
• π
• all non exact roots
• all non exact trigonometric ratios
NOTE
Recurring decimals are rational numbers
© T Madas
Summary on Irrational Numbers
An irrational number, is a number that cannot be expressed
as a fraction with integer numerator and denominator
Loosely this means:
when an irrational number is written in decimal form, it has an infinite
number of decimal digits with no pattern whatsoever.
Examples of irrational numbers are:
• π
• non exact roots
• non exact trigonometric ratios or inverse trigonometric ratios
• e (and most exponentials involving e )
• Non exact logarithms to any base
• Definite integrals which cannot be integrated in terms of
known functions
© T Madas
© T Madas
Suppose we have two numbers and only one of
them is irrational. Then:
Their sum/difference will be irrational
Their product/quotient will be irrational
E.g. 2 + 3
- 2
5´

2= 5 2
2
© T Madas
Suppose we have two numbers and only one of
them is irrational. Then:
Their sum/difference will be irrational
Their product/quotient will be irrational
When both numbers are irrational, things are not
always straightforward.
2+
3
is irrational
BUT
2+
the irrational number with zero whole part and
decimal part such that when it is added to 2, it
gives 1.999…
is rational
© T Madas
Suppose we have two numbers and only one of
them is irrational. Then:
Their sum/difference will be irrational
Their product/quotient will be irrational
When both numbers are irrational, things are not
always straightforward.
2´
3
is irrational
BUT
5´
5 is rational
© T Madas
It gets even more complicated with irrational powers
Is π π rational or irrational?
It is almost certain to be irrational.
Today’s mathematical software running on super-fast
computers can calculate billions of decimal places, but
no one has actually proved this fact to this date.
Here is an interesting example of an irrational number
raised to an irrational power being rational!
2
2
is either rational (R ) or irrational (I )
if it is rational (R ) we found our number !!!
if not:
2
2
= I
2
é
ù
2 = êëI úû
Û
é 2ù 2 é ù 2
êë 2 ú
û = êëI úû
Û
2
é
ù
2 = êëI úû
2
Û
!!!!
© T Madas
© T Madas