Download การให้เหตุผลแบบนิรนัย

Chapter 2
-
การให้เหตุผลแบบ
อุปนัย
การให้เหตุผลแบบนิ ร
นัย
แผนภาพของเวนน์ออยเลอร ์ตรวจสอบ
2
Chapter 2
Section1:
Inductive Reasoning
Section2:
Deductive Reasoning
Section3:
Venn-Euler Diagram
Section4:
Exercises
3
Section1
Inductive Reasoning
(การให้เหตุผลแบบอุปนัย)
 การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็ นการให้เหตุผล
โดยยึดความจริงจากส่วนย่อยที่ พบเห็นไปสู่
ความจริง ที่เ ป็ น ส่ ว นรวม เช่ น เราสัง เกตเห็น ว่ า ทุก ๆเช้า พระอาทิต ย์จ ะขึ้ นทางทิศ
ตะวันออกและตอนเย็นพระอาทิตย์จะตกทางทิศตะวันตก เราจึงสรุปว่า “พระอาทิตย์ข้ ึน
ทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวันตก”
 ในวิชาคณิ ตศาสตร์ ใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย
เพื่อช่วยสรุปคาตอบหรือ ช่วยในการ
แก้ปญั หา เช่น สังเกตรูปแบบของจานวน 2,4,6,8,10 เราสามารถหาจานวนนับ
ถัดจาก 10 อีกสามจานวน โดยใช้ขอ้ สังเกตจากแบบรูปจานวน 2 ถึง 10 ว่ามีค่า
เพิม่ ทีละ 2 ดังนัน้ จานวนทีถ่ ดั จาก 10 ไปอีกสามจานวนคือ 12,14,16 ซึ่ง
การหาจานวนนับอีกสามจานวนที่ได้มาจากการสังเกตที่กล่าวมาเป็ นตัวอย่ างของการให้
เหตุผลแบบอุปนัย Inductive Reasoning
4
Section1
Inductive Reasoning
(การให้เหตุผลแบบอุปนัย)
 การให้เหตุผลแบบอุปนัย
หมายถึง วิธกี ารสรุปผลในการค้นหาความจริง
จากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆครัง้ จากกรณีย่อยๆ แล ้วนามาสรุป
เป็ นความรูแ้ บบทัว่ ไป
 Inductive
Reasoning is the process of
making a generalization based on a
limited number of observations or
examples.
5
Section1
Example
Fill in each blank.
(a)
(b)
(c)
8
(a)
(d)
16
(b)
(c)
(e)
30
(d)
(e)
6
Section1
Example
Fill in each blank and cheek the answer.
9x9
99 x 9
999 x 9
_______
_______
= 81
= 891
= 8,991
= _______
= _______
1
1+3
1 + 3 +5
_______
_______
= ( )2
= ( )2
= ( )2
= _______
= _______
7
Section1
Example
Fill in each blank and consider the multiple.
1 x 3 = _____
1 x 5 = _____
1 x 7 = _____
1 x 9 = _____
7 x ____ = 35
9 x ____ = 45
11 x ____ = 55
13 x ____ = 65
3 x ____ = 15
3 x ____ = 21
3 x ____ = 27
3 x ____ = 33
7 x ____ = 63
7 x ____ = 77
7 x ____ = 91
7 x ____ = 105
The multiple of odd number and odd number is
that odd number too. By Inductive Reasoning
8
Section 2
Deductive Reasoning
(การให้เหตุผลแบบนิ รนัย)
การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็ นการนาความรูพ้ ้นื ฐานซึง่ อาจเป็ นความเชื่อ ข้อตกลง
กฎ หรือบทนิยาม ซึง่ เป็ นสิง่ ทีร่ ูม้ าก่อนและยอมรับว่าเป็ นจริง เพือ่ หาเหตุผลนาไปสู่
ข้อสรุป เช่น
•
•
•
ถ้า
และ
แล้ว
1) จานวนคู่หมายถึงจานวนทีห่ ารด้วย 2 ลงตัว
2) 10 หาร ด้วย 2 ลงตัว
3) 10 เป็ นจานวนคู่
เรียกข้อความหรือประโยคในข้อ 1) และ 2) ว่า “เหตุ” หรือ “สมมติฐาน”
และเรียกข้อความหรือประโยคในข้อ 3) ว่า “ผล”
9
Section 2
Example
Ex1.
เหตุ
ผล
Ex2.
เหตุ
ผล
Ex3.
เหตุ
ผล
่ ยมด
่
่ ยมที
่
่ ด ้านตรงข ้ามขนาน
1) รูปสีเหลี
้านขนานเป็ นรูปสีเหลี
มี
่ ยมขนมเปี
่
่ ยมที
่
่ ด ้านตรงข ้ามขน
2) รูปสีเหลี
ยกปูนเป็ นรูปสีเหลี
มี
มีด ้านแต่ละด ้านยาวเท่ากัน และไม่มม
ี ุมใดเป็ นมุมฉาก
่ ยมขนมเปี
่
่ ยมด
่
รูปสีเหลี
ยกปูนเป็ นรูปสีเหลี
้านขนาน
่ มห
้ นและมีเงินฝากธนาคารมากกว่า 10 ล ้าน เป็ น
1) คนทีไม่
ี นี สิ
้ นและมีเงินฝากธนาคาร 11 ล ้าน
2) คุณมานะ ไม่มห
ี นี สิ
คุณมานะ เป็ นเศรษฐี
1) To day is Tuesday
2) Yesterday is Monday
Tomorrow is Wednesday
10
Section 2
Consider.
้
เหตุ 1) เรือทุกลาลอยนาได
้
้
้
2) ถังนาพลาสติ
กลอยนาได
้
้
ผล ถังนาพลาสติ
กเป็ นเรือ
้ั
การสรุปผลข ้างต ้นไม่สมเหตุสมผล แม้วา่ ข ้ออ ้างหรือเหตุทงสองข
้อจ
่
แต่การทีเราทราบว่
า เรือทุกลาลอยน้ าได้ ก็ไม่ได้หมายความว
ลอยน้ าได้จะต้องเป็ นเรือเสมอไป ข ้อสรุปในตัวอย่างข ้างต ้นจึงเป
ไม่สมเหตุสมผล
สรุปว่า
Ex4.
้ ผล หรือ ข้อสรุปจะ
การให้เหตุผลแบบนิ รนัยนัน
่
ถูกต้อง ก็ตอ
่ เมือ
1) ยอมร ับว่าเหตุเป็ นจริงทุกข้อ
2) การสรุปผลสมเหตุสมผล
11
Section 2
Example
Write each of the following
statement in if-then form.
(a) All students want the option to earn extra credit.
(b) All rectangles have four sides.
Answer.
a) If you are student, then you want the option
to earn extra credit.
b) If a figure is a rectangle, then it has four sides.
12
Section 3
Venn-Euler Diagram
(แผนภาพของเวนน์ -ออยเลอร์ )
การตรวจสอบว่าข้ อสรุป สมเหตุสมผลหรื อไม่นนั ้ สามารถตรวจสอบได้ หลาย
วิธี แล้ วแต่ลกั ษณะของข้ อความที่กาหนดมาให้ วิธีหนึง่ คือการวาดแผนภาพ
ตามสมมติฐานที่เป็ นไปได้ แล้ วจึงพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณี แสดง
ผลสรุปตามที่สรุปไว้ หรื อไม่ ถ้ าแผนภาพที่วาดกรณีท่ ีเป็ นไปได้ ทุกกรณี
แสดงผลตามที่กาหนด จึงกล่ าวได้ ว่าการสรุ ปผล สมเหตุสมผล แต่ ถ้า
สมเหตุสมผล แต่ ถ้ามีแผนภาพที่ไม่ แสดงผลตามที่สรุ ปไว้ การสรุ ปผล
ตามที่สรุ ปไว้ การสรุ ปผลนัน้ จะไม่ สมเหตุสมผล และวิธีการที่ใช้ การ
และวิธีการที่ใช้ การตรวจสอบการสมเหตุสมผลที่กล่าวมา เรี ยกว่า
13
Section 3
่
ตัวอย่างของข ้อความและแผนภาพทีแสดงความหมายของข
้อควา
่ ้ในการอ ้างเหตุผลส่วนใหญ่ ได ้แก่
อ ้างเหตุผลทีใช
ข้อความ
แผนภาพ
สมาชิกของ A ทุกตัว เป็ น
สมาชิกของ B
้ กด ้วยนมทุกตัวเป็ น
เช่น สัตว ์เลียงลู
ไม่มส
ี มาชิกของ A เป็ น
สมาชิกของ B
่ หู
เช่น ไม่มน
ี กตัวใด ทีมี
มีสมาชิกของ A บางตัว เป็ น
สมาชิกของ B
เช่น คนบางคนสุขภาพแข็งแรง
สมาชิกของ A บางตัว ไม่เป็ น
สมาชิกของ B
A
B
A
B
Section 3
14
นอกจากนี ้ยังมีข้อความที่ใช้ ในการอ้ างเหตุผล อีกสองแบบคือ
ข้ อความ
มีสมาชิก ของ A ตัวหนึ่งที่เป็ นสมาชิกของ B
แผนภาพ
A
B
a
B
B
มีสมาชิกของ A ตัวหนึ่งที่ไม่ เป็ นสมาชิกของ B
หรื อ
A
a
a
A
การใช้ แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เพื่อตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้ อสรุป จะต้ อง
วาดแผนภาพตามเหตุผลหรื อสมมติฐานทุกกรณีที่เป็ นไปได้ ถ้ าทุกกรณีแสดงผลสรุปตามที่
กาหนด จึงกล่าวว่า ข้ อสรุปนันสมเหตุ
้
สมผล แต่ถ้ามีบางกรณีที่แผนภาพไม่สอดคล้ องกับ
ผลสรุปแล้ ว ผลสรุปดังกล่าวจะไม่สมเหตุสมผล
15
Section 3
Example
เหตุ 1) ผูอ้ านวยการโรงเรียนทุกคนเป็ นคนรวย
2) นายจักรกฤษ เป็ นผูอ้ านวยการโรงเรียน
ผล
นายจักรกฤษ เป็ นคนรวย
คนรวย
ผอ.
โรงเรียน
่ าวมาว่า
จากแผนภาพ ผลสรุปทีกล่
นายนายจักรกฤษ เป็ นคนรวย
สมเหตุสมผล
• นายจัก
รกฤษ
16
Section 3
Example
่ สข
เหตุ 1) นักกีฬาทุกคนเป็ นคนทีมี
ุ ภาพดี
่ สข
2) นายนรินทร ์ เป็ นคนทีมี
ุ ภาพดี
ผล
นายนรินทร ์ เป็ นนักกีฬา
่ สข
1) เขียนแผนภาพแทนนักกีฬาทุกคนเป็ นคนทีมี
ุ ภาพดี ได ้ด
่ สข
กาหนดให ้ H แทนคนทีมี
ุ ภาพดี
S แทนนักกีฬา
H
S
Section 3
17
เหตุ
ผล
่ สข
1) นักกีฬาทุกคนเป็ นคนทีมี
ุ ภาพดี
่ สข
2) นายนรินทร ์ เป็ นคนทีมี
ุ ภาพดี
นายนรินทร ์ เป็ นนักกีฬา
Example
่
่ สข
2) เขียนแผนภาพเพือแสดงว่
านายนรินทร ์ เป็ นคนทีมี
ุ ภาพด
กาหนดให ้
A
H
S
นาย
นรินทร ์
่ สข
H แทนคนทีมี
ุ ภาพดี
S แทนนักกีฬา
B
หรือ
H
S
นายนรินทร์
กแผนภาพ B นายนรินทร ์ไม่ได้เป็ นนักกีฬา แต่มส
ี ุขภาพดี หรือกล่าวได้วา
่
ผลสรุปทีว่่ านายนรินทร ์ เป็ นนักกีฬา ไม่สมเหตุสมผล
18
Section 3
Use deductive reasoning to fill in a conclusion that
follows from the given statements,
and draw a Venn-Euler diagram.
All rectangles are parallelograms.
All parallelograms are quadrilaterals.
Conclusion : All rectangles are quadrilaterals.
Quadrilaterals
Parallelograms
Rectangles
19
Section 3
Example
Represent the two hypotheses in a Venn-Euler
Diagram and deduce the conclusion.
Hypotheses :
Conclusion :
Two is a whole number.
All whole numbers can be written as fractions.
________________________
Answer. Two can be written as a fractions.
• 2
Whole numbers
Fractions
20
Section 3
Example
If a number is negative, then it is less then 10.
In part (a) and (b), assume the following if-then statement
is true.
(a) -5 is a negative number. What can you conclude?
(b) 12 is not less then 10. What can you conclude?
(c) Draw a Venn-Euler Diagram that show why your
conclusion to part (a) is true.
(Hint: The first statement is the same as “All negative
numbers are also numbers less then 10.”
(d) Draw a Venn-Euler Diagram that show why your
conclusion to part (b) is true.
21
Section 3
Answer
(a)-5 is less then 10.
(b)12 is not a negative number.
(c)
(d)
• 12
• -5
Negative numbers
Numbers less then 10
Negative numbers
Numbers less then 10
Section 4
22
Exercises 1
Pattern1
Pattern 2
Pattern 3
a) How to pattern 4 ,
Find the answer as many different ways as you can.
b)
How many green triangle are in pattern 4
23
Section 4
Exercises 2
x
y
1
1
2
3
3
6
4
5
10 15
(a)When x = 6 , y =______ .
(b)When x = N , y =______ .
6
N
24
1+8  1= 32
Section 4
Exercises 3
1+8  3= 52
1+8  6= 72
(a)What would the next equation be if the pattern
continued ? , Is this equation true ?
(b)A general formula for these equation is
1+8
n(n+1)
2
= (2n+1)
2
Show that the two sides of this equation are equal.
25
22 – 12 = 3
Section 4
Exercises 4
32 – 22 = 5
42 – 32 = 7
(a) If the pattern continues, what is the next equation? , Is the
next equation true ?
(b) Complete the following generalization for any counting
number c.
c2 - __________ = ____________.
(c) Show that your equation in part (b) is true.
(d) Part (b) involves ___________________ reasoning.
and part (c) involves ___________________ reasoning.
26
1 = ( )2
Section 4
Exercises 5
1+3 = ( )2
1+3+5 = ( )2
(a) Fill in the missing number. (Recall that n2= n x n)
(b) Draw geometric dot pictures of the three sums that show the
pattern (Hint: Use squares.)
(c) What would the next equation be if the pattern continued?
Is this equation true?
(d) The sum of the first three odd number is _________ squared.
(e) The sum of the first four odd number is _________ squared.
(f) Write a generalization for any counting number N, based on
parts (d) and (e)
(g) Part (f) involves _______ reasoning.
(h) Use your generalization to compute 1+3+5+7+…+79
Section 4
27
Exercises 6
Represent the two hypotheses in a Venn-Euler
Diagram and deduce the conclusion.
(1)
Hypotheses :
All people are mortal.
Socrates is a person.
Conclusion :
________________________
(2)
Hypotheses :
All doctors are college graduates.
All college graduates finish high school.
Conclusion :
________________________
Section 4
28
Exercises 6
Represent the two hypotheses in a Venn-Euler
Diagram and deduce the conclusion.
(3)
Hypotheses :
A square is also a rectangle.
All rectangle have six sides.
Conclusion :
________________________
(4)
Hypotheses :
All cockroaches are young.
All young things are beautiful.
Conclusion :
________________________
Section 4
29
Exercises 7
Decide whether or not the third statement can be
deduced from the two hypotheses.
(1)
Hypotheses :
Maria is taller than Ana.
Ana is taller than Jelena.
Conclusion :
Maria is taller than Jelena.
(2)
Hypotheses :
Maria beat Ana at tennis.
Ana beat Jelena at tennis.
Conclusion :
Maria will beat Jelena at tennis.
30
Section 4
Exercises
What conclusions can be drawn about
Sandy on the basis of the following
diagram ?
Dogs
White
Male
Dachshunds
• Sandy
31
เอกสารอ้ างอิง
 สถาบันส่งเสริ มการสอนวิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี,
กระทรวงศึกษาธิการ, หนังสือเรี ยนสาระการเรี ยนรู้ พนื ้ ฐาน
คณิตศาสตร์ เล่ ม๑ ชัน้ มัธยมศึกษาปี ที่๔. โรงพิมพ์ครุ ุสภา
พิมพ์ครุ ุสภาลาดพร้ าว, กรุงเทพมหานคร, ๒๕๔๗.
 Thomas Sonnabend., MATHEMATICS FOR TEACHER.
Charles Van Wagner, Canada, 2010.