Download 2010 06 25 Introduction to Probability Theory Resit and solutions

FOR DUTCH STUDENTS!
ENGLISH VERSION NEXT PAGES
Tentamen Inleiding Kansrekening1
25 juni 2010
• Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening
of de argumentatie toe.
• Als je een onderdeel van een opgave niet kunt maken, ga dan toch door
met de volgende onderdelen. Je mag daarbij de in eerdere onderdelen
verschafte informatie gebruiken.
• De (grafische) rekenmachine mag gebruikt worden bij het tentamen.
De rekenmachine kan gebruikt worden om numerieke berekeningen uit
te voeren. De rekenmachine kan echter NIET gebruikt worden om
argumenten te geven voor verkregen oplossingen.
Opgave 1
a) Formuleer de drie fundamentele eigenschappen (axioma’s) van een kansfunctie P .
b) Toon aan, door alleen gebruik te maken van de fundamentele eigenschappen van een kansfunctie, dat
i) P (∅) = 0;
ii) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) voor alle disjuncte gebeurtenissen A en B;
iii) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) voor alle gebeurtenissen A en
B.
1
Cijferbepaling: Puntentelling tentamen: opgave 1: 8 ptn; opgave 2: 8 ptn; opgave
3: 6 ptn; opgave 4: 6 ptn; opgave 5: 6 ptn; opgave 6: 6 ptn.
Het cijfer voor het tentamen is de som van de punten gedeeld door 4. De toets telt niet
meer mee.
Opgave 2
Bij een supermarktketen krijgt men elke keer dat in een filiaal boodschappen wordt gedaan een plaatje van een speler in de WK-selectie van het
Nederlands elftal cadeau. Er zijn 23 spelers in de WK-selectie: 3 keepers,
8 verdedigers, 6 middenvelders en 6 aanvallers. De supermarktketen garandeert dat iedere keer dat men boodschappen doet elke speler gelijke kans
heeft om op het plaatje te staan. Wesley heeft vier keer boodschappen
gedaan en dus vier voetbalplaatjes.
a) Bereken de kans dat Wesley vier verschillende spelers heeft.
b) Bereken de kans dat Wesley een keeper, een verdediger en twee verschillende middenvelders heeft.
c) Bereken de kans dat Wesley minstens één plaatje van Robin van Persie
(aanvaller) heeft, als ook gegeven is dat hij alleen maar plaatjes met
aanvallers heeft gekregen.
d) Laat X het aantal plaatjes met een middenvelder zijn, die Wesley heeft
gekregen. Welke kansverdeling heeft X? Geef ook de bijbehorende parameters en bepaal E(X).
Opgave 3
Gegeven is een toevalsvariabele X.
a) Formuleer de ongelijkheid van Chebychev.
b) Van de toevalsvariabele X is bovendien gegeven dat E(X) = 5 en
P (3 < X < 7) = 0.7. Toon aan, met behulp van de ongelijkheid van
Chebychev, dat Var(X) ≥ 1.2.
Opgave 4
Gegeven is een toevalsvariabele X die eindig veel waarden aanneemt. Stel
a, b ∈ IR zijn constanten en laat toevalsvariabele Y gegeven zijn door
Y = aX + b.
a) Is Y discreet, continu of gemengd?
b) Toon aan dat σY = |a|σX .
Opgave 5
(Voor deze opgave heb je de tabel nodig die aan het einde van het tentamen
is toegevoegd.)
De lengte X van een willekeurig gekozen Nederlandse man (in cm) is normaal
verdeeld met verwachting 181 en variantie 16.
a) Bereken P (179 < X < 187).
b) Een Nederlandse man wordt ‘extreem lang’ genoemd als voor zijn lengte
a geldt dat P (X > a) < 0.005 (slechts 0.5% van de mannen is langer).
Hoe lang moet je zijn om ‘extreem lang’ genoemd te worden?
Opgave 6
De kansdichtheidsfunctie (pdf) van een stochast X is gegeven door
f (x) =
(
e3x
als x ≤ 0
−x
ce
als x > 0
waarbij c > 0 een constante is.
a) Bereken c.
b) Bereken de moment genererende functie MX .
c) Bereken E(X).
FOR NON-DUTCH STUDENTS!
Exam Introduction Probability Theory2
June 25, 2010
• For every exercise you have to provide the full proof, calculation and/or
arguments.
• If you can’t solve an item of some exercise, continue with the next
items. It is allowed to use the information that you have obtained
before.
• The graphical calculator can be used during the midterm. However,
the graphical calculator can be used only for numerical calculations.
It can NOT be used to provide arguments for the solutions obtained.
Exercise 1
a) State the three fundamental properties (axioms) of a probability function
P.
b) Show, by only using the fundamental properties of a probability function,
that
i) P (∅) = 0;
ii) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) for all disjoint events A and B;
iii) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) for all events A and B.
2
Grading: Grading exam: exercise 1: 8 pts; exercise 2: 8 pts; exercise 3: 6 pts;
exercise 4: 6 pts; exercise 5: 6 pts; exercise 6: 6 pts.
The grade for the exam is the sum of the points scored, divided by 4. The result for the
midterm does not count anymore.
Exercise 2
At a certain chain of supermarkets a customer receives for every visit a
picture of one of the players in the Dutch World Cup soccer team. There
are 23 players in the team: 3 goalkeepers, 8 defenders, 6 midfielders and 6
attackers. The supermarket guarantees that for every picture handed out
every player has equal probability to be on the picture. Wesley visited the
supermarket four times and hence received four pictures.
a) Calculate the probability that Wesley has four different players.
b) Calculate the probability that Wesley has a goalkeeper, a defender and
two different midfielders.
c) Calculate the probability that Wesley received at least one picture of
Robin van Persie (attacker), if it is known that he received only pictures
with attackers.
d) Let X be the number of pictures with a midfielder that Wesley received.
Which probability distribution does X have? Also provide the corresponding parameters and determine E(X).
Exercise 3
Consider a random variable X.
a) State Chebychev’s inequality.
b) For the random variable X it is moreover given that E(X) = 5 and
P (3 < X < 7) = 0.7. Show, by using Chebychev’s inequality, that
Var(X) ≥ 1.2.
Exercise 4
Consider a random variable X which takes finitely many values. Let a, b ∈ IR
be constants and let random variable Y be given by Y = aX + b.
a) Is Y discrete, continuous or mixed?
b) Show that σY = |a|σX .
Exercise 5
(For this exercise you will need the table that has been attached to the end
of this exam.)
The length X of an arbitrarily selected Dutch man (in cm) is normally
distributed with expectation 181 and variance 16.
a) Calculate P (179 < X < 187).
b) A Dutch man is called ‘extremely tall’ if for his length a it holds that
P (X > a) < 0.005 (at most 0.5% of the Dutch men is taller). How tall
do you have to be in order to be called ‘extremely tall’ ?
Exercise 6
The probability density function (pdf) of random variable X is given by
f (x) =
(
e3x
if x ≤ 0
ce−x if x > 0
where c > 0 is a constant.
a) Calculate c.
b) Calculate the moment generating function MX .
c) Calculate E(X).
Solutions Exam Inleiding Kansrekening, June 25, 2010
Exercise 1
a) P (S) = 1; P (A) ≥ 0 for all events A ⊂ S; if A1 , A2 , . . . are mutually
P∞
exclusive then P (∪∞
i=1 P (Ai ).
i=1 Ai ) =
b) (i) Define A1 = A2 = · · · = ∅. Then ∪∞
i=1 Ai = ∅ and A1 , A2 , . . . are
P∞
mutually exclusive. So, P (∅) = i=1 P (∅). Since a constant sequence is
only summable if it is the zero sequence we must have that P (∅) = 0.
(ii) Let A and B be disjoint events. Take A1 = A, A2 = B and A3 = A4 =
A5 = · · · = ∅. Then A ∪ B = ∪∞
i=1 Ai and A1 , A2 , . . . are mutually exclusive.
So, P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
(iii) Let A and B be two events. Let C = A\B, D = B\A and E = A ∩ B.
Then C, D and E are mutually exclusive and A ∪ B = C ∪ D ∪ E, so
application of (ii) (twice) yields that P (A ∪ B) = P (C) + P (D) + P (E).
Moreover applying (ii) to the disjoint C and E (with C ∪ E = A), we get
P (A) = P (C) + P (E). Similarly, applying (ii) to the disjoint D and E (with
D ∪ E = B), we get P (B) = P (D) + P (E). So, P (A ∪ B) = P (C) + P (D) +
P (E) = P (C) + P (E) + P (D) + P (E) − P (E) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Exercise 2
a) 23·22·21·20
23·23·23·23 = 0.759.
b) The probability that Wesley receives first a goalkeeper, then a defender
and lastly two different midfielders equals 3·8·6·5
234 . Of course, there are
4
3
1
1 · 2 · 1 = 12 different orders for getting the same combination, all
with the same probability. So the probability equals 12 · 3·8·6·5
234 = 0.0309.
c) Note that the event “4 attackers” is the disjoint union of the events “4
attackers without RvP” and “4 attackers with RvP at least once”. Therefore P (“4 attackers with RvP at least once”) =
6 4
5 4
P (“4 attackers”) − P (“4 attackers without RvP”) = ( 23
) − ( 23
) .
Therefore
P (“RvP at least once”|“4 attackers”) =
P (“4 attackers with RvP at least once”)
P (“4 attackers”)
6
d) X ∼ Bin(4, 23
). E(X) = np = 4 ·
6
23
=
6 4
5 4
( 23
) − ( 23
)
6 4
( 23 )
5
= 1 − ( )4
6
= 0.518.
=
24
23 .
Exercise 3
a) For every k > 0 we have P (|X − µX | < kσX ) ≥ 1 −
b) Take k = σ2X . Then
0.7 = P (3 < X < 7)
= P (|X − 5| < 2)
1
.
k2
= P (|X − µX | < kσX )
1
≥ 1− 2
k
2
σX
= 1−
4
Var(X)
= 1−
.
4
Hence Var4(X) ≥ 0.3 and therefore Var(X) ≥ 1.2.
Exercise 4
a) If X is taking the finite collection of values {x1 , . . . , xm } then Y is taking
the finite collection of values {ax1 + b, . . . , axm + b}. So Y is discrete as well.
b) First note that E(Y ) = E(aX + b) = E(aX) + b = aE(X) + b. Secondly, note that Var(Y ) = E((Y − E(Y ))2 ) = E((aX + b − (aE(X) + b))2 ) =
E((a(X −E(X)))2 ) = E(a2 (X −E(X))2 ) = a2 E((X −E(X))2 ) = a2 Var(X).
Taking the square roots we get σY = |a|σX .
Exercise 5
a) Random variable Z =
X−181
4
has the standard normal distribution. So,
P (179 < X < 187) = P (−2 < X − 181 < 6)
X − 181
< 1.5)
= P (−0.5 <
4
= P (−0.5 < Z < 1.5)
= Φ(1.5) − Φ(−0.5)
= Φ(1.5) − (1 − Φ(0.5))
= Φ(1.5) + Φ(0.5) − 1
= 0.9332 + 0.6915 − 1
= 0.6247.
b) Of course, we should have that a > 181. Note that
0.005 > P (X > a)
X − 181
a − 181
= P(
>
)
4
4
a − 181
= P (Z >
)
4
a − 181
= 1 − Φ(
)
4
a−181
if Φ( a−181
> Φ−1 (0.995), i.e.,
4 ) > 0.995. Hence we should have that
4
a > 181 + 4Φ−1 (0.995) = 181 + 4 · 2.575 = 191.3.
Exercise 6
a) We have
1 =
Z
∞
−∞
f (x)dx
Z
=
=
0
f (x)dx +
−∞
Z 0
e3x dx +
lim
3x
∞
f (x)dx
0
∞
ce−x dx
0
−∞
=
Z
Z
Z
0
A→−∞ A
e dx + c lim
Z
A→∞ 0
A
e−x dx
1
−x x=A
lim [ e3x ]x=0
x=A + c lim [−e ]x=0
A→∞
3
1 1
=
lim ( − eA ) + c lim (−e−A − (−1))
A→−∞ 3
A→∞
3
1
=
+ c,
3
=
A→−∞
so c = 23 .
b)
MX (t) = E(etX )
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Z
∞
−∞
Z 0
etx f (x)dx
2 ∞ tx −x
e e dx
3 0
−∞
Z 0
Z
2 ∞ (t−1)x
(t+3)x
e
dx +
e
dx
3 0
−∞
Z 0
Z A
2
lim
e(t+3)x dx + lim
e(t−1)x dx
A→−∞ A
3 A→∞ 0
1 (t+3)x x=0
2
1 (t−1)x x=A
e
e
lim [
]x=A + lim [
]x=0
A→−∞ t + 3
3 A→∞ t − 1
1
2
1 (t−1)A
1
1 (t+3)A
lim (
) + lim (
−
−
e
e
)
A→−∞ t + 3
t+3
3 A→∞ t − 1
t−1
2 1
1
−
t+3 3t−1
3(t − 1) − 2(t + 3)
3(t + 3)(t − 1)
t−9
,
2
3t + 6t − 9
etx e3x dx +
Z
provided that −3 < t < 1.
2
′ (t) = (3t +6t−9)·1−(t−9)·(6t+6) for every t ∈ (−3, 1). Now
c) Note that MX
(3t2 +6t−9)2
′ (0) = 5 .
E(X) = MX
9