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École Normale Supérieure de Constantine
2 Année Physique -Chimie
2022-20223
TP 3 Filtres passifs
Résonances d’un circuit RLC série
1 Buts du travail pratique
Étude du comportement d’un circuit RC et RLC en fonction de la fréquence.
Tracer les diagrammes de Bode des filtres passifs et déterminer la fréquence de coupure et la bandepassante
Maîtriser la mesure de tension, et le déphasage à l’aide de l’oscilloscope.
Observer la résonance en intensité, d’un circuit RLC en série.
2 Rappel théorique
Un filtre limite le signal qui le traverse ; on distingue quatre types de filtres :
 Passe-bas

Passe-haut

Passe-bande
On caractérise un filtre par sa fonction de transfert :
Us
Ue
H=
Ue : amplitude complexe de la tension d'entrée d'un signal sinusoïdal.
Us : amplitude complexe de la tension de sortie.
On appellera H le module de H et ϕ son argument.
H est représenté ci-dessous pour les quatre types de filtres idéaux.
2.1 Filtre passe -bas
Impédance complexe de la capacité :
1
Z𝑐 =
𝑗𝐶𝜔
La fonction de transfert de ce filtre RC est :
H=
Z𝑐
R+Z𝑐
avec 𝜔0 = 1⁄𝑅𝐶
=
1
1+𝑗𝑅𝐶𝜔
=
1
1+𝑗
𝜔
𝜔0
: pulsation propre du filtre.
H(j𝜔) =
H0
𝜔
1+𝑗𝜔
0
15
 Coupe-bande
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H(j𝜔) : représente la forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre.
Ici H0 = 1 et 𝜔0 = 1⁄(𝑅𝐶 ).
Le gain en tension en décibel a pour définition : 𝐆 = 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 |𝐇(𝐣𝝎)| (dB)
Le module et la phase de la fonction de transfert sont donné par :
|H0 |
|H(j𝜔 | =
𝜔 2
√1 + ( )
𝜔
0
𝜑(𝜔) = arg H(j𝜔) = −𝑎𝑟𝑐 tan (
𝜔
)
𝜔0
Avec cette fonction de transfert, on peut obtenir les diagrammes de Bode. Le diagramme de Bode d'un
système de réponse fréquentielle H(j𝜔) se compose de deux tracés :

Le gain (ou amplitude) en décibels (dB). Sa valeur est calculée à partir de 𝐆 = 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 |𝐇|

La phase en degré, donnée par 𝐚𝐫𝐠 𝐇(𝐣𝝎).
Fréquences de coupure
La fréquence de coupure pour des filtres réels est la fréquence à laquelle l’amplitude de sortie est à
1/√2 de la valeur maximale :
H𝑚𝑎𝑥
|H(j𝜔𝑐 ) | =
√2
𝐻𝑚𝑎𝑥
G(𝜔𝑐 ) = 20 log10
= 20 log10 (𝐻𝑚𝑎𝑥 ) − 3.01 (𝑑𝐵)
√2
𝐆(𝛚𝐜 ) = 𝐆𝐦𝐚𝐱 − 𝟑 (𝐝𝐁)
Étude aux limites en fonction de la fréquence
|H0 |
𝑓 2
|H(j𝜔) | =
G = 20 log10 |H0 | − 10 log (1 + ( ) )
𝑓
𝑓0
2
𝜑(𝜔) = −𝑎𝑟𝑐 tan ( )
𝑓
√1 + ( )
𝑓0
𝑓 2
𝑓0
G = G0 − 10 log (1 + ( ) )
𝑓0
Limites
Module de |H(j𝜔) |
Gain G
f →0
|H | →|H0 |
G → G0
f →∞
|H | → 0
|H0 |
|H | =
√2
G→ −∞
f = 𝑓0
G → G0 − 3 dB
2.2 Filtre passe-haut
La fonction de transfert du filtre passe-haut est :
R
1
1
1
H(j𝜔𝑐 ) =
=
=
=
𝜔
𝑗
R + Z𝑐
Z𝑐
1 − 𝑗𝜔
1−
1+
0
𝑅𝐶𝜔
𝑅
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Phase 𝜑
𝜑→ 0
𝜑→ −𝜋⁄2
𝜑→ −𝜋⁄4
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H(j𝜔) =
𝜔
𝜔0
𝜔
1+𝑗
𝜔0
H0 𝑗
H(j𝜔𝑐 ) : représente la forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-haut du premier
ordre.
Ici H0 = 1 et 𝜔0 = 1⁄(𝑅𝐶 ).
H0
|H(j𝜔 | =
2
Le module de la fonction de transfert complexe est :
√1 + (𝜔0 )
𝜔
𝜔0
𝜑(𝜔) = arg H(j𝜔) = 𝑎𝑟𝑐 tan ( )
et son argument est :
𝜔
Étude aux limites en fonction de la fréquence
𝑓0 2
G = 20 log10 |H0 | − 10 log (1 + ( ) )
𝑓
|H0 |
|H(j𝜔) | =
𝑓
𝜑(𝜔) = −𝑎𝑟𝑐 tan ( )
2
𝑓0
G = G0 − 10 log (1 + ( ) )
𝑓
2
√1 + (𝑓0 )
𝑓
𝜑(𝜔) =
Limites
Module de |H(j𝜔) |
Le gain G
f →0
|H | → 0
G→ −∞
f →∞
|H | →|H0 |
|H0 |
|H | =
√2
G → G0
f = 𝑓0
G → G0 − 3 𝑑𝐵
𝜋
2
− 𝑎𝑟𝑐 tan ( )
𝑓
Phase 𝜑
𝜑→ 𝜋⁄2
𝜑→ 0
𝜑→ 𝜋⁄4
2.3 Filtre passe-bande
Impédance complexe d’une bobine :
Z𝐿 = 𝑗𝐿𝜔
En régime alternatif, on utilise la notation complexe.
En appliquant le diviseur de tension on trouve la fonction
de transfert du filtre passe-haut est :
R
𝑗𝑅𝐶𝜔
H(j𝜔) =
=
R + Z𝑐 + Z𝐿 1 − 𝐿𝐶𝜔2 + 𝑗𝑅𝐶𝜔
qui peut être mis sous sa forme canonique :
H(j𝜔) =
𝜔
H0 2𝑚 𝑗 𝜔
0
2
𝜔
𝜔
1 − (𝜔 ) + 2𝑚 𝑗 𝜔
0
0
m : le coefficient d’amortissement
2m = 1/Q ou Q est le facteur de qualité.
On pose :
𝐿𝐶 =
1
𝜔20
⇒ 𝜔0 =
1
√𝐿𝐶
17
On a :
𝑓0
𝑓0
2𝑚
𝑅 𝐶
= 𝑅𝐶 ⇒ 𝑚 = √
𝜔0
2 𝐿
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Le facteur de qualité :
2𝑚 =
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1
1 𝐿
⇒𝑄= √
𝑄
𝑅 𝐶
On préfère souvent mettre la fonction de transfert sous une forme plus facile à exploiter, en divisant
𝜔
numérateur et dénominateur par 2𝑚 𝑗 𝜔 et en utilisant le facteur de qualité 𝑄 =
0
1
2𝑚
:
H0
H0
𝜔
𝜔0 =
1 + 𝑗𝑄 (𝜔 − 𝜔 ) 1 + 𝑗𝑄 ( 𝑓 − 𝑓0 )
0
𝑓0
𝑓
Étude aux limites en fonction de la fréquence
H0
H0 = 1
|H(j𝜔 | =
Le module de la fonction de transfert complexe est :
2
√1 + 𝑄 2 ( 𝑓 − 𝑓0 )
𝑓0
𝑓
H(j𝜔) =
𝜑(𝜔) = arg H(j𝜔) = − 𝑎𝑟𝑐 tan Q (
et son argument est :
Le gain en décibel :
𝑓
𝑓0
𝑓
G = 20 log10 |H0 | − 10 log (1 + 𝑄 2 (𝑓 −
0
−
𝑓0 2
𝑓
) )
𝑓
𝑓0 2
G = G0 − 10 log (1 + 𝑄 ( − ) )
𝑓0
𝑓
Le gain 𝐆
Module de |H(j𝜔) |
2
Limites
f →0
|H | → 0
G→ −∞
f →∞
|H | →0
G→ −∞
f = 𝑓0
|H | = |H0 |
G → G0
Phase 𝜑
𝜑→ 𝜋⁄2
𝜑→ −𝜋⁄2
𝜑→ 𝜋⁄4
Fréquences de coupure et bande passante à -3dB
|H(j𝜔 | =
H0
2
√1 + 𝑄 2 ( 𝑓 − 𝑓0 )
𝑓0
𝑓
=
H0
√2
𝑓
𝑓0
− ) = ±1
𝑓0
𝑓
Seules les solutions positives de cette équation du second degré sont physiquement acceptables :
𝑓0
𝑓𝑐𝑏 : Fréquences de coupure basse
𝑓𝑐𝑏 =
(−1 + √1 + 4𝑄 2 )
2𝑄
𝑓0
𝑓𝑐ℎ : Fréquences de coupure haute
𝑓𝑐ℎ =
(1 + √1 + 4𝑄 2 )
2𝑄
La bande passante BP a pour expression :
𝑓0
𝜔0 𝑅
∆𝑓 = 𝑓𝑐ℎ − 𝑓𝑐𝑏 =
𝑒𝑡 ∆𝜔 =
=
𝑄
𝑄
𝐿
4. Matériel utilisé
Générateur Basses Fréquences CA1638- Bobine d'inductance L =13.3mH - Condensateur de capacité
C = 1µF- Résistance R de 100 Ω - Oscilloscope UTD 2025CL. Multimètre
Soit :
𝑄(
18
𝑓0
𝑓
)
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5. Étude expérimentale
5.1 Filtre passe -bas
1. Réaliser le montage de la ci-dessous.
2. Brancher le GBF sur sa sortie OUTPUT. Le régler (avec le bouton "level") de façon à ce qu’il délivre
une tension Ue(t) sinusoïdale d’amplitude 5V (tension crête-crête égale à 10V) et f= 20 Hz. On vérifier à
l’oscilloscope que cette tension reste constante pour toute l’expérience (la réajuster au besoin).
.
3. Régler l’oscilloscope afin d’observer correctement les signaux Ue(t) et Us(t) des deux voies (on peut
dans un premier temps utiliser le bouton Auto).
4. A l’aide de l’oscilloscope, relever l’amplitude de Us (aux bornes de C)
5. Relever le déphasage ∆𝑡 entre Us et Ue. En déduire le déphasage entre les tensions en degré.
𝜑 = ± 2𝜋
∆𝑡
∆𝑡
(𝑟𝑎𝑑) = ± 360
(°)
𝑇
𝑇
6. Refaire les mêmes mesures, pour différentes fréquences allant de 20 Hz à 50 KHz, selon le tableau cidessous. On notera particulièrement le point de mesure correspondant à la fréquence de coupure fc.
7. Remplir le tableau 1.
8. Tracer le diagramme de Bode (gain en décibels et phase de transfert) en fonction de f porté en échelle
logarithmique : on utilisera du papier « semi-log ».
9. Déterminer les valeurs expérimentales de la fréquence de coupure et de la pente de l’asymptote haute
fréquence.
10. Comparer les résultats expérimentaux aux résultats théoriques, tant pour le gain que pour la phase
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5.2 Filtre passe-bande
1. Réaliser le montage de la ci-dessus.
2. L’amplitude de la tension d’entrée d´enivrée par le GBF 5 V, (tension crête-crête égale à 10V) et f=
20 Hz. On vérifier à l’oscilloscope que cette tension reste constante pour toute l’expérience (la réajuster
au besoin).
3. A l’aide de l’oscilloscope, relever l’amplitude de Us (aux bornes de R)
4.On mesure l'intensité électrique à l'aide d'un ampèremètre et la tension aux bornes de la résistance R.
5. Relever le déphasage ∆𝑡 entre Us et Ue. En déduire le déphasage entre les tensions en degré.
6. Refaire les mêmes mesures, pour différentes fréquences allant de 20 Hz à 50 KHz, selon le tableau cidessous. On notera particulièrement le point de mesure correspondant à la fréquence de coupure fc.
7. Remplir le tableau 2.
8. Tracer le diagramme de Bode (gain en décibels et le déphasage) en fonction de f porté en échelle
logarithmique.
9. Déterminer les valeurs expérimentales de la fréquence de maximale et évaluer expérimentalement les
fréquences de coupure et la bande passante BP.
10.Comparer les résultats expérimentaux aux résultats théoriques.
Résonance circuit RLC
11. Tracer la courbe de l’intensité I en fonction de log f. En déduire la valeur de la fréquence de résonance
f0 que l'on comparera à sa valeur théorique.
12.Déterminer graphiquement la bande passante.
13. Déduire de la courbe le facteur de qualité Q.
20
𝑓(𝐻𝑧)
Ue(𝑡) crête à
20
75
250
500
230
650
800
1200
2050
3000
6000
12000
20000
30700
50000
crête
U 𝑠(𝑡)
𝐻 = 𝑈𝑠 ⁄𝑈𝑒
𝐺=
20 𝑙𝑜𝑔 𝐻 (𝑑𝐵)
𝛥𝑡
(𝑚𝑠)
𝜑
(𝑒𝑛°)
Tableau 01 : Filtre passe-bas
𝑓(𝐻𝑧)
20
50
150
900
1200
1450
U e(𝑡)
crête à crête
U 𝑠(𝑡)
G(dB)
I (mA)
𝛥𝑡(𝑚𝑠)
𝜑(°)
Tableau 02 : Filtre passe-bande
21
1700
2800
3500
6000
10000
20000
40000
Passe- bas
𝑓(𝐻𝑧)
U e(𝑡) crête à
10
75
10.8
250
10.8
500
10.8
800
10.8
1200
10.8
2050
10.8
3000
10.8
6000
10.8
12000
10.8
10.8
10.8
10.7
10
9.52
8.72
6.72
5
2.52
1.46
872mv
0
0
-160u
-140u
-96u
-88u
-68u
-58u
-29.6
-18.4
-11.20
10.8
crête
U 𝑠(𝑡)
20000
10.8
30700
50000
𝐻 = 𝑈𝑠 ⁄𝑈𝑒
𝐺=
20 𝑙𝑜𝑔 𝐻 (𝑑𝐵)
𝛥𝑡
(𝑚𝑠)
𝜑
(𝑒𝑛°)
Filtre Passe-bande, résonance RLC
𝑓(𝐻𝑧)
15
U e(𝑡)
10
crête à crête
50
150
230
650
900
1200
1450
1700
2800
3500
6000
10000
20000
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
U 𝑠(𝑡)
106m
348m
1.08
1.66
4.24
5.48
9.84
9.6
7.84
4.88
4
2.12
1.20
672m
I (mA)
0.30
1.15
3.5
5.26
14.20
18.6
31.8
31.9
26.2
14.5
10.9
6.76
3.290
0.5m
UR (V)
0.030
0.11
0.354
0.532
1.42
1.86
3.2
3.33
2.76
1.64
1.30
0.646
0.316
0.116
𝛥𝑡
(𝑚𝑠) 13.6u
5m
1.32m
1.16m
240u
120u
-26u
-48u
-54u
-54u
-38u
-22.4u
115.2u
𝜑
(𝑒𝑛°)
40u
22
40000
E
F
B
50
0
E
45
-5
Simulation pspice
40
0
-10
35
f0 = 1300 Hz
-15
-5
Gain (dB)
30
Gain (dB)
20
15
-10
-20
-25
-30
-15
-35
10
-20
-40
5
0
-45
-25
10
100
résonance RLC série
1000
10000
100
1000
10
10000
fréquence (Hz)
E
2
f0 =1300 Hz
1
0
-1
-2
-3
1000 Hz
-4
2000 Hz
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
100
1000
Filtre passe-bande
fréquence (Hz)
23
100
1000
fréquence (Hz)
Filtre passe-bande RLC
fréquence (Hz)
Filtre RC passe-bas
Gain (dB)
I (mA)
mésures
25
10000
10000