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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Tarea 25. Problema de cálculo de reacciones; fuerzas cortantes, momentos flectores, rotaciones y deflexiones máximas, para una viga continua. Flexión Martínez Hernández Daniel 4AM2 Tarea 25. Aplicar el método de Superposición, Doble integración, Área de Momentos o la combinación de ellos para generar el análisis de estabilidad, resistencia y rigidez de la viga del croquis anexo. Dibujar los gráficos de V(x)-x, M(x)-x, EIΞΈ(x)-x & EIy(x)-x, en secuencia vertical para usarlos en los análisis. 300[kf /m] 150[kf/m] A B C 5.00m 7.50m Figura 1. Croquis de la viga D 7.50m 20.00m 300[kf /m] 150[kf/m] A B C 5.00m D 7.50m 7.50m 20.00m Figura 2. Diagrama de cargas para caso I 300[kf/m] 150[kf/m] MD Figura 6, 7, 8 y 9. Croquis de la viga (Repetido), Diagrama de fuerzas cortantes, diagrama de momentos flectores y diagrama de deflexión. PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN: Figura 3. Diagrama de cargas para caso II CALCULO DE HIPERASTICIDAD MD RD πΊ. π». ° = 5 β 3 = 2 CALCULO DE REACCIONES EN LOS APOYOS Planteamos las ecuaciones de equilibrio: β β πΉπ₯ = π π·π = 0 Figura 4. Diagrama de cargas para CASO III π π·π = 0 MD RD Se plantea la ecuación de la sumatoria de fuerzas en sentido del eje βyβ. β β πΉπ¦ = π π΅π¦ + π πΆπ¦ + π π·π¦ β 4500πππ = 0 Figura 5. Diagrama de cuerpo libre para 0.00m < x < 5.00m π π΅π¦ + π πΆπ¦ + π π·π¦ = 4500πππ Se plantea la ecuación de la sumatoria de momentos respecto al eje βzβ que pasa por el punto D. RD A RB RC x-12.5 x-5 MD 15 βΊ β ππ·π = β(15π)π π΅π¦ β ( π) π πΆπ¦ β ππ· + 40000πππ = 0 2 15 β(15π)π π΅π¦ β ( π) π πΆπ¦ β ππ· = β40000πππ 2 Con base al diagrama de cuerpo libre para procedemos a plantear las ecuaciones de fuerza cortante y momento flector. x-0 Para la fuerza cortante: π(π₯) = β150π₯ β 15 2 π₯ + π π΅π¦ β©π₯ β 5βͺ0 + π πΆπ¦ β©π₯ β 12.5βͺ0 4 De acuerdo con la condición de frontera πΈπΌπ¦(20) = 0 β1125π π΅π¦ β Para el momento flector 5 π(π₯) = β75π₯ 2 β π₯ 3 + π π΅π¦ β©π₯ β 5βͺ1 + π πΆπ¦ β©π₯ β 12.5βͺ1 4 Se plantea un sistema de ecuaciones π π΅π¦ + π πΆπ¦ + π π·π¦ = 4500πππ Procedemos a calcular la función de rotación y deflexión por el método de la doble integración a partir de la función de momento flector. β15π π΅π¦ β 7.5π πΆπ¦ β ππ· = β40000πππ 5265 1125 π + π πΆπ¦ = 846661.376 16 π΅π¦ 8 π π΅π¦ π πΆπ¦ 5 β©π₯ β 5βͺ2 + β©π₯ β 12.5βͺ2 + πΆ1 πΈπΌπ(π₯) = β25π₯ β π₯ 4 + 16 2 2 3 β1125π π΅π¦ β Obtenemos la función de deflexión πΈπΌπ¦(π₯) = β π πΆπ¦ 25 4 π₯ 5 π π΅π¦ β©π₯ β 5βͺ3 + β©π₯ β 12.5βͺ3 + πΆ1 π₯ π₯ β + 4 16 6 6 + πΆ2 Calculamos C1 y C2 a partir de las condiciones de frontera πΈπΌπ(20) = 225 225 π + π β 250000 + πΆ1 = 0 2 π΅π¦ 8 πΆπ¦ π πΆπ¦ 225 πΆ1 = β (π π΅π¦ + ) + 250000 2 4 Para C2 π πΆπ¦ 1125 1125 225 π π΅π¦ β π β 20[β (π π΅π¦ + ) 2 16 πΆπ¦ 2 4 + 250000 = πΆ2 πΆ2 = β3800000 + πΆ2 = 3375 7875 π π΅π¦ β π 2 16 πΆπ¦ 1125 7 (3π π΅π¦ + π πΆπ¦ ) β 3800000 2 8 RBy = 1777.56 [πππ] RCy = 1576.8 [πππ] RDy = 1145.64 [πππ] MD = 1510.6 [πππ β π] Se sustituyen los valores de las reacciones en las ecuaciones πΈπΌπ¦(π₯) = β π πΆπ¦ 5 4 π π΅π¦ β©π₯ β 5βͺ2 + β©π₯ β 12.5βͺ2 π₯ + 16 2 2 π πΆπ¦ 225 β (π π΅π¦ + ) + 250000 2 4 π πΆπ¦ 25 4 π₯ 5 π π΅π¦ β©π₯ β 5βͺ3 + β©π₯ β 12.5βͺ3 π₯ β + 4 16 6 6 π πΆπ¦ 225 + [β (π π΅π¦ + ) + 250000] π₯ 2 4 1125 7 + (3π π΅π¦ + π πΆπ¦ ) β 3800000 2 8 De acuerdo con la condición de frontera EIy(5)=0 se evalúa la función de deflexión 1125π π΅π¦ + 5265 π β 2554000 = 0 16 πΆπ¦ De acuerdo con la condición de frontera EIy(12.5)=0 5265 1125 π + π πΆπ¦ β 846661.376 16 π΅π¦ 8 15 2 π₯ + 1777.56β©π₯ β 5βͺ0 + 1576.8β©π₯ β 12.5βͺ0 4 5 π(π₯) = β75π₯ 2 β π₯ 3 + 1777.56β©π₯ β 5βͺ1 + 1576.8β©π₯ β 12.5βͺ1 4 πΈπΌπ(π₯) = β25π₯ 3 β Se sustituyen los valores de las constantes C1 y C2 en las ecuaciones de rotación y deflexión: πΈπΌπ(π₯) = β25π₯ 3 β 5265 π = β2554000 16 πΆπ¦ De donde se obtiene que: π(π₯) = β150π₯ β 1200000 β 5265 π + 2554000 = 0 16 πΆπ¦ πΈπΌπ¦(π₯) = β 5 4 π₯ + 888.78β©π₯ β 5βͺ2 + 788.4β©π₯ β 12.5βͺ2 16 + 5677 25 4 π₯ 5 π₯ β + 296.26β©π₯ β 5βͺ3 + 262.8β©π₯ β 12.5βͺ3 4 16 + 5677π₯ β 24286.25 Se plantean las funciones de fuerza cortante, momento flector, rotación y deflexión específicas para cada tramo de la viga: Para 0<x<5 V(x) = β150x1 β 15 2 x 4 Hablando del voladizo: π₯ππ£ππ = 0 5 M(x) = β75x 2 β x 3 4 Hablando del voladizo: π₯ππ£ππ = 0 πΈπΌπ(π₯) = β25x3 β 5 4 x + 5677 16 Hablando del voladizo: π₯π¦π£ππ = 0 πΈπΌπ¦(π₯) = β 25 4 x 5 x β + 5677π₯ β 24286.25 4 16 Aplicando el criterio de la primera derivada, se iguala a cero la ecuación de momento flector con el fin de obtener el punto en el que se encuentra la rotación máxima para este tramo de la viga, se obtiene: π₯ππππππ2πáπ₯β = 13.59π Para 5<x<12.5 15 V(x) = β150x β x 2 + 1777.56 β¨x β 5β©0 4 π₯ππππππ2πáπ₯+ = 18.31π 1 Aplicando el criterio de la primera derivada, se iguala a cero la ecuación de fuerza cortante con el fin de obtener el punto en el que se encuentra el momento flector máximo para este tramo de la viga, se obtiene: π₯ππππππ1 = 9.56π πΈπΌπ(π₯) = β25x3 β Aplicando el criterio de la primera derivada, se iguala a cero la ecuación de rotación con el fin de obtener el punto en el que se encuentra la deflexión máxima para este tramo de la viga, se obtiene: π₯π¦ππππππáπ₯ = 16π 5 M(x) = β75x 2 β x 3 + 1777.56 β¨x β 5β©1 4 Aplicando el criterio de la primera derivada, se iguala a cero la ecuación de momento flector con el fin de obtener el punto en el que se encuentra la rotación máxima para este tramo de la viga, se obtiene: π₯ππππππ1πππ₯β = 8.35π π₯ππππππ1πππ₯+ = 10.75π 5 4 πΈπΌπ(π₯) = β25x3 β x + 888.78 β¨x β 5β©2 + 5677 16 Aplicando el criterio de la primera derivada, se iguala a cero la ecuación de rotación con el fin de obtener el punto en el que se encuentra la deflexión máxima para este tramo de la viga, se obtiene: π₯π¦πππππ1 = 6.84 π 5 4 x + 888.78 β¨x β 5β©2 + 788.4β¨x β 12.5β©2 16 + 5677 πΈπΌπ¦(π₯) = β 25 4 x 5 x β + 296.26 β¨x β 5β©3 + 262.8β¨x β 12.5β©3 4 16 + 5677π₯ β 24286.25 CONCLUSIONES Voladizo: Rotación: 1 πΈπΌ 5677πππ en π₯ππ£ππ = 0 Deflexión: β 1 πΈπΌ 24286.25π en π₯π¦π£ππ = 0 Claro 1: Rotación: β 1 πΈπΌ 422.38πππ en π₯ππππππ1πππ₯β = 8.35π 5 πΈπΌπ¦(π₯) = β 25 4 x x β + 296.26 β¨x β 5β©3 + 5677π₯ 4 16 β 24286.25 1 πΈπΌ 168.47πππ en π₯ππππππ1πππ₯+ = 10.75π Deflexión: Para 12<x<20 1 15 V(x) = β150x1 β x 2 + 1777.56 β¨x β 5β©0 4 + 1576.8β¨x β 12.5β©0 πΈπΌ 1773.65π en π₯π¦πππππ1πππ₯+ = 6.84 π Claro 2: Rotación: Aplicando el criterio de la primera derivada, se iguala a cero la ecuación de fuerza cortante con el fin de obtener el punto en el que se encuentra el momento flector máximo para este tramo de la viga, se obtiene: π₯ππππππ2 = 15.97π 5 M(x) = β75x 2 β x 3 + 1777.56 β¨x β 5β©1 4 + 1576.8β©x β 12.5βͺ1 β 1 πΈπΌ 1 πΈπΌ 1211.97πππ en π₯ππππππ2πáπ₯β = 13.59π 1155.68πππ en π₯ππππππ2πáπ₯+ = 18.31π Deflexión: β 1 πΈπΌ 3000.64π en π₯π¦πππππ2πáπ₯β = 16π