Download 25 Flexión

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y
ELÉCTRICA
Tarea 25. Problema de cálculo de
reacciones;
fuerzas
cortantes,
momentos flectores, rotaciones y
deflexiones máximas, para una viga
continua.
Flexión
Martínez Hernández Daniel
4AM2
Tarea 25. Aplicar el método de Superposición, Doble
integración, Área de Momentos o la combinación de ellos para
generar el análisis de estabilidad, resistencia y rigidez de la
viga del croquis anexo. Dibujar los gráficos de V(x)-x, M(x)-x,
EIθ(x)-x & EIy(x)-x, en secuencia vertical para usarlos en los
análisis.
300[kf /m]
150[kf/m]
A
B
C
5.00m
7.50m
Figura 1. Croquis de la viga
D
7.50m
20.00m
300[kf /m]
150[kf/m]
A
B
C
5.00m
D
7.50m
7.50m
20.00m
Figura 2. Diagrama de cargas para caso I
300[kf/m]
150[kf/m]
MD
Figura 6, 7, 8 y 9. Croquis de la viga (Repetido), Diagrama de
fuerzas cortantes, diagrama de momentos flectores y diagrama
de deflexión.
PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN:
Figura 3. Diagrama de cargas para caso II
CALCULO DE HIPERASTICIDAD
MD
RD
𝐺. 𝐻. ° = 5 − 3 = 2
CALCULO DE REACCIONES EN LOS APOYOS
Planteamos las ecuaciones de equilibrio:
→ ∑ 𝐹𝑥 = 𝑅𝐷𝑋 = 0
Figura 4. Diagrama de cargas para CASO III
𝑅𝐷𝑋 = 0
MD
RD
Se plantea la ecuación de la sumatoria de fuerzas en sentido del
eje “y”.
↑ ∑ 𝐹𝑦 = 𝑅𝐵𝑦 + 𝑅𝐶𝑦 + 𝑅𝐷𝑦 − 4500𝑘𝑔𝑓 = 0
Figura 5. Diagrama de cuerpo libre para 0.00m < x < 5.00m
𝑅𝐵𝑦 + 𝑅𝐶𝑦 + 𝑅𝐷𝑦 = 4500𝑘𝑔𝑓
Se plantea la ecuación de la sumatoria de momentos respecto al
eje “z” que pasa por el punto D.
RD
A
RB
RC
x-12.5
x-5
MD
15
↺ ∑ 𝑀𝐷𝑍 = −(15𝑚)𝑅𝐵𝑦 − ( 𝑚) 𝑅𝐶𝑦 − 𝑀𝐷 + 40000𝑘𝑔𝑓 = 0
2
15
−(15𝑚)𝑅𝐵𝑦 − ( 𝑚) 𝑅𝐶𝑦 − 𝑀𝐷 = −40000𝑘𝑔𝑓
2
Con base al diagrama de cuerpo libre para procedemos a
plantear las ecuaciones de fuerza cortante y momento flector.
x-0
Para la fuerza cortante:
𝑉(𝑥) = −150𝑥 −
15 2
𝑥 + 𝑅𝐵𝑦 〈𝑥 − 5〉0 + 𝑅𝐶𝑦 〈𝑥 − 12.5〉0
4
De acuerdo con la condición de frontera 𝐸𝐼𝑦(20) = 0
−1125𝑅𝐵𝑦 −
Para el momento flector
5
𝑀(𝑥) = −75𝑥 2 − 𝑥 3 + 𝑅𝐵𝑦 〈𝑥 − 5〉1 + 𝑅𝐶𝑦 〈𝑥 − 12.5〉1
4
Se plantea un sistema de ecuaciones
𝑅𝐵𝑦 + 𝑅𝐶𝑦 + 𝑅𝐷𝑦 = 4500𝑘𝑔𝑓
Procedemos a calcular la función de rotación y deflexión por el
método de la doble integración a partir de la función de
momento flector.
−15𝑅𝐵𝑦 − 7.5𝑅𝐶𝑦 − 𝑀𝐷 = −40000𝑘𝑔𝑓
5265
1125
𝑅 +
𝑅𝐶𝑦 = 846661.376
16 𝐵𝑦
8
𝑅𝐵𝑦
𝑅𝐶𝑦
5
〈𝑥 − 5〉2 +
〈𝑥 − 12.5〉2 + 𝐶1
𝐸𝐼𝜃(𝑥) = −25𝑥 − 𝑥 4 +
16
2
2
3
−1125𝑅𝐵𝑦 −
Obtenemos la función de deflexión
𝐸𝐼𝑦(𝑥) = −
𝑅𝐶𝑦
25 4 𝑥 5 𝑅𝐵𝑦
〈𝑥 − 5〉3 +
〈𝑥 − 12.5〉3 + 𝐶1 𝑥
𝑥 −
+
4
16
6
6
+ 𝐶2
Calculamos C1 y C2 a partir de las condiciones de frontera
𝐸𝐼𝜃(20) =
225
225
𝑅 +
𝑅 − 250000 + 𝐶1 = 0
2 𝐵𝑦
8 𝐶𝑦
𝑅𝐶𝑦
225
𝐶1 = −
(𝑅𝐵𝑦 +
) + 250000
2
4
Para C2
𝑅𝐶𝑦
1125
1125
225
𝑅𝐵𝑦 −
𝑅 − 20[−
(𝑅𝐵𝑦 +
)
2
16 𝐶𝑦
2
4
+ 250000 = 𝐶2
𝐶2 = −3800000 +
𝐶2 =
3375
7875
𝑅𝐵𝑦 −
𝑅
2
16 𝐶𝑦
1125
7
(3𝑅𝐵𝑦 + 𝑅𝐶𝑦 ) − 3800000
2
8
RBy = 1777.56 [𝑘𝑔𝑓]
RCy = 1576.8 [𝑘𝑔𝑓]
RDy = 1145.64 [𝑘𝑔𝑓]
MD = 1510.6 [𝑘𝑔𝑓 ∗ 𝑚]
Se sustituyen los valores de las reacciones en las ecuaciones
𝐸𝐼𝑦(𝑥) = −
𝑅𝐶𝑦
5 4 𝑅𝐵𝑦
〈𝑥 − 5〉2 +
〈𝑥 − 12.5〉2
𝑥 +
16
2
2
𝑅𝐶𝑦
225
−
(𝑅𝐵𝑦 +
) + 250000
2
4
𝑅𝐶𝑦
25 4 𝑥 5 𝑅𝐵𝑦
〈𝑥 − 5〉3 +
〈𝑥 − 12.5〉3
𝑥 −
+
4
16
6
6
𝑅𝐶𝑦
225
+ [−
(𝑅𝐵𝑦 +
) + 250000] 𝑥
2
4
1125
7
+
(3𝑅𝐵𝑦 + 𝑅𝐶𝑦 ) − 3800000
2
8
De acuerdo con la condición de frontera EIy(5)=0 se evalúa la
función de deflexión
1125𝑅𝐵𝑦 +
5265
𝑅 − 2554000 = 0
16 𝐶𝑦
De acuerdo con la condición de frontera EIy(12.5)=0
5265
1125
𝑅 +
𝑅𝐶𝑦 − 846661.376
16 𝐵𝑦
8
15 2
𝑥 + 1777.56〈𝑥 − 5〉0 + 1576.8〈𝑥 − 12.5〉0
4
5
𝑀(𝑥) = −75𝑥 2 − 𝑥 3 + 1777.56〈𝑥 − 5〉1 + 1576.8〈𝑥 − 12.5〉1
4
𝐸𝐼𝜃(𝑥) = −25𝑥 3 −
Se sustituyen los valores de las constantes C1 y C2 en las
ecuaciones de rotación y deflexión:
𝐸𝐼𝜃(𝑥) = −25𝑥 3 −
5265
𝑅 = −2554000
16 𝐶𝑦
De donde se obtiene que:
𝑉(𝑥) = −150𝑥 −
1200000 −
5265
𝑅 + 2554000 = 0
16 𝐶𝑦
𝐸𝐼𝑦(𝑥) = −
5 4
𝑥 + 888.78〈𝑥 − 5〉2 + 788.4〈𝑥 − 12.5〉2
16
+ 5677
25 4 𝑥 5
𝑥 −
+ 296.26〈𝑥 − 5〉3 + 262.8〈𝑥 − 12.5〉3
4
16
+ 5677𝑥 − 24286.25
Se plantean las funciones de fuerza cortante, momento flector,
rotación y deflexión específicas para cada tramo de la viga:
Para 0<x<5
V(x) = −150x1 −
15 2
x
4
Hablando del voladizo:
𝑥𝑀𝑣𝑜𝑙 = 0
5
M(x) = −75x 2 − x 3
4
Hablando del voladizo:
𝑥𝜃𝑣𝑜𝑙 = 0
𝐸𝐼𝜃(𝑥) = −25x3 −
5 4
x + 5677
16
Hablando del voladizo:
𝑥𝑦𝑣𝑜𝑙 = 0
𝐸𝐼𝑦(𝑥) = −
25 4 x 5
x −
+ 5677𝑥 − 24286.25
4
16
Aplicando el criterio de la primera derivada, se iguala a cero
la ecuación de momento flector con el fin de obtener el
punto en el que se encuentra la rotación máxima para este
tramo de la viga, se obtiene:
𝑥𝜃𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜2𝑚á𝑥− = 13.59𝑚
Para 5<x<12.5
15
V(x) = −150x − x 2 + 1777.56 ⟨x − 5⟩0
4
𝑥𝜃𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜2𝑚á𝑥+ = 18.31𝑚
1
Aplicando el criterio de la primera derivada, se iguala a cero
la ecuación de fuerza cortante con el fin de obtener el punto
en el que se encuentra el momento flector máximo para
este tramo de la viga, se obtiene:
𝑥𝑀𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜1 = 9.56𝑚
𝐸𝐼𝜃(𝑥) = −25x3 −
Aplicando el criterio de la primera derivada, se iguala a
cero la ecuación de rotación con el fin de obtener el punto
en el que se encuentra la deflexión máxima para este
tramo de la viga, se obtiene:
𝑥𝑦𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜𝑚á𝑥 = 16𝑚
5
M(x) = −75x 2 − x 3 + 1777.56 ⟨x − 5⟩1
4
Aplicando el criterio de la primera derivada, se iguala a cero
la ecuación de momento flector con el fin de obtener el
punto en el que se encuentra la rotación máxima para este
tramo de la viga, se obtiene:
𝑥𝜃𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜1𝑚𝑎𝑥− = 8.35𝑚
𝑥𝜃𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜1𝑚𝑎𝑥+ = 10.75𝑚
5 4
𝐸𝐼𝜃(𝑥) = −25x3 −
x + 888.78 ⟨x − 5⟩2 + 5677
16
Aplicando el criterio de la primera derivada, se iguala a
cero la ecuación de rotación con el fin de obtener el punto
en el que se encuentra la deflexión máxima para este
tramo de la viga, se obtiene:
𝑥𝑦𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜1 = 6.84 𝑚
5 4
x + 888.78 ⟨x − 5⟩2 + 788.4⟨x − 12.5⟩2
16
+ 5677
𝐸𝐼𝑦(𝑥) = −
25 4 x 5
x −
+ 296.26 ⟨x − 5⟩3 + 262.8⟨x − 12.5⟩3
4
16
+ 5677𝑥 − 24286.25
CONCLUSIONES
Voladizo:
Rotación:
1
𝐸𝐼
5677𝑟𝑎𝑑 en 𝑥𝜃𝑣𝑜𝑙 = 0
Deflexión:
−
1
𝐸𝐼
24286.25𝑚 en 𝑥𝑦𝑣𝑜𝑙 = 0
Claro 1:
Rotación:
−
1
𝐸𝐼
422.38𝑟𝑎𝑑 en 𝑥𝜃𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜1𝑚𝑎𝑥− = 8.35𝑚
5
𝐸𝐼𝑦(𝑥) = −
25 4 x
x −
+ 296.26 ⟨x − 5⟩3 + 5677𝑥
4
16
− 24286.25
1
𝐸𝐼
168.47𝑟𝑎𝑑 en 𝑥𝜃𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜1𝑚𝑎𝑥+ = 10.75𝑚
Deflexión:
Para 12<x<20
1
15
V(x) = −150x1 − x 2 + 1777.56 ⟨x − 5⟩0
4
+ 1576.8⟨x − 12.5⟩0
𝐸𝐼
1773.65𝑚 en 𝑥𝑦𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜1𝑚𝑎𝑥+ = 6.84 𝑚
Claro 2:
Rotación:
Aplicando el criterio de la primera derivada, se iguala a cero
la ecuación de fuerza cortante con el fin de obtener el punto
en el que se encuentra el momento flector máximo para
este tramo de la viga, se obtiene:
𝑥𝑀𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜2 = 15.97𝑚
5
M(x) = −75x 2 − x 3 + 1777.56 ⟨x − 5⟩1
4
+ 1576.8〈x − 12.5〉1
−
1
𝐸𝐼
1
𝐸𝐼
1211.97𝑟𝑎𝑑 en 𝑥𝜃𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜2𝑚á𝑥− = 13.59𝑚
1155.68𝑟𝑎𝑑 en 𝑥𝜃𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜2𝑚á𝑥+ = 18.31𝑚
Deflexión:
−
1
𝐸𝐼
3000.64𝑚 en 𝑥𝑦𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜2𝑚á𝑥− = 16𝑚