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Cálculo Numérico
Guía de ejercicios N°1: Método de Euler (explícito)
Implementación y verificación del algoritmo
Resuelva el siguiente problema de valores iniciales aplicando el método de Euler explícito.
dy
= −y , y(0) = 1 , t = [0, 3]
(1)
dt
Verifique que la solución exacta del problema es: y(t) = e−t .
Utilizando paso temporal k = 0.1 y k = 0.2 encuentre los siguientes valores numéricos de
la solución:
vn
1.00000000
0.90000000
0.81000000
0.72900000
0.65610000
0.59049000
0.53144100
0.47829690
0.43046720
0.38742048
0.34867844
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
vn
1.00000000
0.80000000
0.64000000
0.51200000
0.40960000
0.32768000
0.26214400
0.20971520
0.16777216
0.13421772
0.10737418
Tabla 1: Solución numérica, método de
Euler explícito utilizando k = 0.1.
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Tabla 2: Solución numérica, método de
Euler explícito utilizando k = 0.2.
Compruebe que la solución numérica se aproxima a la exacta cuando k → 0. Encuentre
de manera analítica y compruebe numéricamente cual es el valor máximo de k para el cual
el método es inestable en el problema que se resuelve.
Problema N°1
Considere el siguiente problema de valores iniciales
yt = λy + F (t)
y(0) = 1 ,
con λ = −1
,
(2)
0≤t≤2
F (t) = sin(2πt).
1. Resuelva el problema analíticamente y discuta el comportamiento de la solución. Grafique la solución.
1
8 de marzo de 2022
2. Utilizando el método de Euler explícito para resolver el problema (2) se obtiene:
vn+1 = (1 + λk) vn + kF (t)
(3)
v0 = 1
Escriba un programa de computadora que implemente este método utilizando tres valores de paso de tiempo, k = 0.1, 0.01, 0.001. Grafique la solución para cada valor de
k.
3. Para cada valor de k obtenga el valor del error �n = |vn − y(tn )| y grafíquelo. ¿Cual es
el comportamiento del error cuando k decrece?, ¿Tiene el comportamiento esperado?
Problema N°2
Considere el problema de valores iniciales:
yt = y + t 2
y(0) = 1
,
(4)
1. Encuentre la solución exacta y(t).
2. Escribir un programa en computadora que implemente el método de Euler explícito
para resolver (4) con t ∈ [0, 2] para diferentes valores de paso temporal k. Para cada
valor de k = 0.001 , 0.002 , 0.003 , . . . , 0.05 el programa debe encontrar el error global
�(k) = max |v(k, tn ) − y(tn )|
0≤tn ≤2
Grafique � como función de k y analice el gráfico para pequeños valores de k.
Problema N°3
Considere el siguiente problema de valores iniciales y una aproximación por el método de
un paso preciso de orden p.
yt = λy + F (t)
,
y(0) = y0
(5)
Muestre que el cociente Q y Q̃ definidos en ecuación (6) se aproximan para pequeños k
al valor 2p en la mayoría de los puntos.
Q=
v (1) (t, k) − y (t)
v (2) (t, k/2) − y (t)
,
Q̃ =
Utilice el resultado del Teorema A.3 de [1].
v (1) (t, k) − v (2) (t, k/2)
v (2) (t, k/2) − v (3) (t, k/4)
(6)
Problema N°4
Siguiendo con el Problema N°1, modificar el programa realizado para calcular el cociente
de precisión:
v 1 (t) − y(t)
(7)
Q(t) = 2
v (t) − y(t)
donde v 1 (t) es la solución numérica obtenida con un paso de tiempo k; y v 2 (t) es la solución
calculada con paso de tiempo k/2. Mostrar dos gráficos de Q (t), el primero utilizando k =
0.01, y el segundo k = 0.001.
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8 de marzo de 2022
Problema N°5
Considere el modelo de péndulo:
d2 Θ
dΘ
+ sin(Θ) = Acos(ωt) , Θ (0) = 0 ,
(0) = 0
2
dt
dt
(8)
1. Escriba la ecuación como un sistema de ecuaciones de primer orden.
2. Utilice el método de Euler explícito a este sistema utilizando A = 1 y ω = 1. Dado Θ 1 ,
Θ2 y Θ3 las soluciones correspondientes a k, k2 y k4 respectivamente. Se requiere:
�
�
a) Se quiere asegurar que �Θ2 (t) − y (t)� ≤ 0.3 × 10−1 cuando t ∈ [0, T ]. Determine
el valor de T que se obtiene cuando se utiliza k = 0.1.
b) Grafique en el intervalo [0, T ] la solución Θ1 y Θ2 superpuestas.
c) Calcule el cociente de presición
Q (tn ) =
Θ2 (tn ) − Θ1 (tn )
Θ3 (tn ) − Θ2 (tn )
(9)
en el intervalo de tiempo [0, T ]. ¿Se obtienen los resultados esperados?.
3. Repetir los items 2 con k = 10−2 y k = 10−3 .
Referencias
[1] H.O. Kreiss and O.E. Ortiz. Introduction to Numerical Methods for Time Dependent
Differential Equations. Wiley, 2014.
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