Download Reçeteleri dolduracağı küçük bir eczane kurmayı düşünen bir eczacının karşılaştığı aşağıdaki durumu düşünün

Reçeteleri dolduracağı küçük bir eczane kurmayı düşünen bir eczacının karşılaştığı aşağıdaki durumu
düşünün. Sabah 9'da açılmayı planlıyor. hafta içi her gün ve ortalama olarak, her gün saat 17: 00'den
önce çağrılan yaklaşık 32 reçete olacağını umuyor. Deneyimleri, bir reçete üzerinde çalışmaya
başladıktan sonra onu doldurması için gereken sürenin, sırasıyla 10 ve 4 dakikalık bir ortalama ve
standart sapmaya sahip rastgele bir miktar olduğunu göstermektedir. Saat 17: 00'den sonra yeni
reçete kabul etmemeyi planlıyor, ancak gerekirse o gün sipariş edilen tüm reçeteleri doldurmak için
bu saatten sonra dükkanda kalacak. Bu senaryo göz önüne alındığında, eczacı muhtemelen diğer
şeylerin yanı sıra aşağıdaki soruların cevaplarıyla ilgilenmektedir:
1. Geceleri mağazasından çıkacağı ortalama zamanı kaçtır?
2. Günlerin kaçı hala 17: 30'da çalışıyor olacak?
3. Reçeteyi doldurması ortalama ne kadar sürer (yeni gelen bir reçete üzerinde daha önce gelenlerin
tümü doldurulana kadar çalışmaya başlayamayacağı dikkate alındığında)?
4. Reçetelerin ne kadarını 30 dakika içinde doldurulacak?
5. Tüm reçeteleri kabul etme politikasını sabah 9.00 arasında değiştirirse. ve öğleden sonra 17, ancak
daha ziyade, beşten az reçete hala doldurulması gereken reçete olduğunda yenilerini kabul ediyor,
ortalama olarak kaç reçete kaybedilecek?
6. Sıraları sınırlama koşulları, soru 1'den 4'e kadar olan soruların yanıtlarını nasıl etkiler?
Bu durumu analiz etmek ve soruları cevaplamak için matematiği kullanmak için önce bir olasılık
modeli oluşturuyoruz. Bunu yapmak için, önceki senaryo ile ilgili makul ölçüde doğru bazı varsayımlar
yapmak gerekir. Örneğin, günlük ortalama 32 MÜŞTERİ'nin gelişlerini tanımlayan olasılık mekanizması
hakkında bazı varsayımlar yapmalıyız. Olası bir varsayım, GELİŞ HIZININ, olasılıksal anlamda gün
boyunca sabit olduğu, oysa ikinci (muhtemelen daha gerçekçi) olası bir varsayım, varış hızının günün
saatine bağlı olduğudur. Daha sonra, bir reçeteye hizmet vermek için geçen süre için bir olasılık
dağılımı (ORTALAMA 10 VE STANDART sapma 4'e sahip) belirtmeliyiz ve verilen bir reçetenin hizmet
süresinin her zaman bu dağıtıma sahip olup olmadığına veya değişip değişmediğine ilişkin varsayımlar
yapmalıyız. diğer değişkenlerin bir işlevi olarak (örneğin, doldurulacak bekleyen reçetelerin sayısı
veya günün saati). Yani, günlük varış ve hizmet süreleri hakkında olasılıklı varsayımlar yapmalıyız.
Belirli bir günü tanımlayan olasılık yasasının haftanın gününün bir fonksiyonu olarak değişip
değişmediğine de karar vermeliyiz.
zaman içinde temelde sabit kalıp kalmayacağı. Bu varsayımlar ve muhtemelen diğerleri belirlendikten
sonra, senaryomuzun bir olasılık modeli oluşturulmuş olacaktır.
Bir olasılık modeli oluşturulduktan sonra, soruların cevapları teorik olarak analitik olarak
belirlenebilir. Ancak pratikte bu soruları analitik olarak belirlemek çok zordur ve bu yüzden
cevaplamak için genellikle bir simülasyon çalışması yapmamız gerekir. Böyle bir çalışma, bir
bilgisayarda olasılık mekanizmasını programlar ve "rasgele sayılar" kullanarak bu modelden çok
sayıda gün boyunca olası olayları simüle eder ve ardından verilenler gibi sorulara verilen cevapları
tahmin etmek için istatistik teorisini kullanır. Başka bir deyişle, bilgisayar programı, reçetelerin varış
zamanlarını ve hizmet sürelerini temsil eden varsayılan olasılık dağılımlarına sahip rasgele
değişkenlerin değerlerini üretmek için rasgele sayıları kullanır. Bu değerleri kullanarak, sorularla ilgili
ilgi miktarını günler boyunca belirler. Daha sonra, tahmini cevaplar sağlamak için istatistiksel teknikler
kullanır - örneğin, eczacının hala 5: 30'da çalıştığı 1000 simüle edilmiş günden 122'si varsa, 2. sorunun
cevabının 0.122 olduğunu tahmin ederiz.
2.1 Örnek Alan ve Olaylar
Sonucu önceden bilinmeyen bir deney düşünün. Deneyin örnek uzayı olarak adlandırılan S, tüm olası
sonuçların kümesini göstersin. Örneğin, deney 1'den 7'ye kadar numaralandırılmış yedi at arasında
yapılan bir yarıştan oluşuyorsa, o zaman
S = {tüm (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) sıralamaları}
Sonuç (3, 4, 1, 7, 6, 5, 2), örneğin, 3 numaralı atın birinci, 4 numaralı atın ikinci olduğu vb. Anlamına
gelir.
Örnek boşluğun(örneklem uzayının) herhangi bir alt kümesi A, olay olarak bilinir. Yani, bir olay,
deneyin olası sonuçlarının içeren bir dizi birleşimidir. Deneyin sonucu A'da yer alıyorsa, A'nın
oluştuğunu söyleriz. Örneğin, yukarıda, eğer
A = {5 ile başlayan S'deki tüm sonuçlar)
sonra A, 5 numaralı atın birinci geldiği olaydır.
Herhangi iki A ve B olayı için, A ve B'nin birleşimi olarak adlandırılan yeni olay AUB'yi, A veya B'de
veya hem A hem de B'de olan tüm sonuçlardan oluşacak şekilde tanımlarız. A ve B'nin kesişimi, hem A
hem de B'deki tüm sonuçlardan oluşur. Yani, A veya B meydana gelirse AUB olayı meydana gelirken,
hem A hem de B oluşursa AB(kesişim) olayı oluşur. İkiden fazla olayın birleşimlerini ve kesişimlerini de
tanımlayabiliriz. Özellikle, Ai'nin herhangi birindeki tüm sonuçlardan oluşacak şekilde tanımlanan Al,
A olaylarının birleşimi. Benzer şekilde, AIA2 tarafından belirlenen A olaylarının kesişimi
An Ai'nin tamamında bulunan tüm sonuçlardan oluşacak şekilde tanımlanır.
Herhangi bir A olayı için, A'nın tamamlayıcıs(tümleyen) olarak adlandırılan A^c olayını, A'da olmayan
S örneklem uzayındaki tüm sonuçlardan oluşacak şekilde tanımlarız. Yani A^c, ancak ve ancak A yoksa
oluşur. Deneyin sonucu, S örnek uzayında yer alması gerektiğinden, S^c'(S’in tümleyeni) nin herhangi
bir sonuç içermediği ve dolayısıyla gerçekleşemeyeceği sonucu çıkar. S^c'yiboş küme olarak
adlandırıyoruz ve Ø ile belirtiyoruz. AB = Ø ise, böylece A ve B her ikisi birden oluşamaz (çünkü hem A
hem de B'de sonuç olmadığından), A ve B'nin birbirini dışladığını söyleriz.
2.2 Olasılık Aksiyomları
Örnek uzay S'ye sahip bir deneyin her A olayı için, aşağıdaki üç aksiyoma uygun olan, P (A) ile
gösterilen ve A olayının olasılığı olarak adlandırılan bir sayı olduğunu varsayalım:
Aksiyom 1 0 <= P (A) <= 1
Aksiyom 2 P (S) = 1
Aksiyom 3 Birbirini dışlayan herhangi bir olay dizisi için A1 ,A2
Bu nedenle Axiom 1, deneyin sonucunun A dahilinde olma olasılığının 0 ile 1 arasında bir sayı
olduğunu belirtir; Aksiyom 2, olasılık 1 ile bu sonucun örnek uzayının bir üyesi olduğunu belirtir; ve
Axiom 3, herhangi bir birbirini dışlayan olaylar dizisi için, bu olaylardan en az birinin meydana gelme
olasılığının, ilgili olasılıkların toplamına eşit olduğunu belirtir.
Bu üç aksiyom, olasılıklar hakkında çeşitli sonuçları kanıtlamak için kullanılabilir. Örneğin, A ve A^c
her zaman birbirini dışladığından ve A u A^c = S olduğundan, Axioms 2 ve 3'ten şunu elde ederiz:
1 = P (S) = U A^c) = P (A) + P (A^c)
Veya eşdeğer olarak
P(AC) = 1 — P(A)
2.3 Koşullu Olasılık ve Bağımsızlık
Bir yazı tura atmaktan oluşan bir deney düşünün ve her seferinde sonucun yazı mı tura mı olduğunu
not edin. Bu deneyin örnek alanı, aşağıdaki dört sonuç kümesi olarak alınabilir:
(t,t),(t,y),(y,t),(y,y)
burada (H, T), örneğin, ilk çevirinin tura geldiği ve ikinci yazıların olduğu anlamına gelir. Şimdi, dört
olası sonucun her birinin meydana gelme olasılığının eşit olduğunu ve dolayısıyla k olasılığına sahip
olduğunu varsayalım. Ayrıca, ilk çevirmenin tura geldiğini gözlemlediğimizi varsayalım. Öyleyse, bu
bilgi verildiğinde, her iki dönüşün de kafalara düşme olasılığı nedir? Bu olasılığı hesaplamak için şu
şekilde akıl yürütürüz: Başlangıçtaki ters dönme noktasının geldiği göz önüne alındığında, deneyimizin
en fazla iki olası sonucu olabilir, yani (T, T) veya (T,Y).
Ek olarak, bu sonuçların her biri başlangıçta aynı gerçekleşme olasılığına sahip olduğundan, yine de
eşit olasılıklara sahip olmalıdır. Diğer iki sonucun (H, H) ve (H, T) sonuçlarının (H, H) ve (H, T) her
birinin (koşullu) olasılığı 1/2 iken, diğer iki sonucun (koşullu) olasılığı 0'dır. istenen olasılık 1/2
A ve B'nin sırasıyla, her iki çevirmenin tura gelme olayını ve ilk çevirmenin tura gelme olayını
göstermesine izin verirsek, o zaman yukarıda elde edilen olasılığa, B'nin meydana geldiği ve ile
gösterildiğinden A'nın koşullu olasılığı denir.
Tüm deneyler ve A ve B olayları için geçerli olan P (AIB) için genel bir formül, daha önce verilenle aynı
şekilde elde edilebilir. Yani, eğer B olayı meydana gelirse, o zaman A'nın meydana gelmesi için, fiili
oluşumun hem A hem de B'de bir nokta olması gerekir; yani AB içinde olmalıdır. Şimdi B'nin meydana
geldiğini bildiğimiz için, B'nin yeni örnek uzayımız olduğu ve dolayısıyla AB olayının oluşma
olasılığının, B'nin olasılığına göre AB'nin olasılığına eşit olacağı sonucu çıkar. Yani,
Bazı A olayının meydana gelme olasılığının belirlenmesi, genellikle ikinci bir B olayı dikkate alınarak ve
daha sonra hem B'nin meydana gelmesi durumunda A'nın koşullu olasılığının hem de B'nin
gerçekleşmediği göz önüne alındığında A'nın koşullu olasılığının belirlenmesiyle basitleştirilir. Bunu
yapmak için önce şunu unutmayın->:
AB ve AB^C birbirini dışladığından, önceki verimler;
Önceki formülü kullandığımızda, B'nin olup olmadığına göre P (A) 'yı hesapladığımızı söyleriz.
Örnek 2a Bir sigorta şirketi, sigortalılarını kazaya eğilimli veya değil olarak sınıflandırır. Verileri, kazaya
eğilimli bir kişinin bir yıllık süre içinde 0,25 olasılıkla bir talepte bulunacağını ve kazaya eğilimli
olmayan bir kişi için bu olasılığın 0,10'a düştüğünü göstermektedir. Yeni bir poliçe sahibi, 0,4 olasılıkla
kazaya meyilli ise, bir yıl içinde bir hak talebinde bulunma olasılığı nedir?
Çözüm C bir hak talebinde bulunulacak olay olsun ve B poliçe sahibinin kazaya meyilli olduğu olay
olsun. Sonra
Bi, i = 1 n olaylarından tam olarak birinin gerçekleşmesi gerektiğini varsayalım. Yani, B1 B2… BN'nin,
birleşimi S örnek uzayı olan, birbirini dışlayan olaylar olduğunu varsayalım. O zaman, Bi'den
hangisinin meydana geldiğine göre bir A olayının olasılığını da hesaplayabiliriz. Bunun formülü şu
kullanılarak elde edilir
ki bunu ima eder
Yazı tura atma örneğinde belirtildiği gibi, P (AIB), B'nin oluştuğu göz önüne alındığında, A'nın koşullu
olasılığı, genellikle A'nın koşulsuz olasılığı olan P (A) 'ya eşit değildir.Başka bir deyişle, B'nin genel
olarak gerçekleştiğini bilerek A'nın oluşma olasılığını değiştirir (ya bunlar birbirini dışlarsa?). P (AIB)
'nin P (A)' ya eşit olduğu özel durumda, A ve B'nin bağımsız olduğunu söylüyoruz. P (AIB) = P (AB) / P
(B) olduğundan, A'nın B'den bağımsız olduğunu görürüz.
Bu ilişki A ve B'de simetrik olduğundan, A'nın B'den bağımsız olduğu her durumda B'nin A'dan
bağımsız olduğu sonucu çıkar.
2.4 Rastgele Değişkenler
Bir deney yapıldığında, bazen öncelikle sonuç tarafından belirlenen bazı sayısal miktarların değeriyle
ilgileniriz.
Deney sonuçlarına göre belirlenen bu ilgi miktarları rasgele değişkenler olarak BİLİNMEKTEDİR.
Kümülatif dağılım işlevi veya daha basitçe dağılım işlevi,
X rastgele değişkeninin F'si, herhangi bir x gerçek sayısı için şu şekilde tanımlanır:
Sonlu veya en fazla sayılabilir sayıda olası değer alabilen rastgele bir değişkenin ayrık (KESİKLİ)olduğu
söylenir. Ayrık bir rastgele değişken X için, olasılık kütle fonksiyonu p (x) 'i şu şekilde tanımlarız:
X, olası değerlerden birini alan ayrık bir rastgele değişkense, X'in bu değerlerden birini alması
gerektiğinden,
Örnek
2a X'in 1, 2 veya 3 değerlerinden birini aldığını varsayalım.
Ayrık bir rastgele değişken, en fazla sayılabilir olası değerler kümesini varsayarken, genellikle olası
değerler kümesi bir aralık olan rastgele değişkenleri dikkate almak zorundayız. Tüm x gerçek sayıları
için tanımlanan negatif olmayan bir f (x) fonksiyonu varsa ve gerçek sayıların herhangi bir C kümesi
için özelliğe sahipse, X rastgele değişkeninin sürekli bir rastgele değişken olduğunu söyleriz.
F fonksiyonu, rastgele değişken X'in olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak adlandırılır.
Kümülatif dağılım F (•) ile olasılık yoğunluğu f (.) Arasındaki ilişki şu şekilde ifade edilir:
Her iki tarafın verimini farklılaştırmak TÜREVİNİ ALDIĞIMIZDA
Yani yoğunluk, kümülatif dağılım fonksiyonunun türevidir. Denklem (2.1) 'den yoğunluk
fonksiyonunun biraz daha sezgisel bir yorumu aşağıdaki gibi elde edilebilir:
€ küçük olduğunda. Diğer bir deyişle, X'in a noktası etrafındaki bir uzunluk aralığı € içinde kapsanma
olasılığı yaklaşık olarak Ef (a) 'dır. Buradan, f (a) 'nın rastgele değişkenin a'ya yakın olma olasılığının bir
ölçüsü olduğunu görüyoruz.
Pek çok deneyde, sadece bireysel rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı fonksiyonlarıyla değil, aynı
zamanda iki veya daha fazlası arasındaki ilişkilerle de ilgileniyoruz. İki rastgele değişken arasındaki
ilişkiyi belirtmek için, X ve Y'nin birleşik(ortak) kümülatif olasılık dağılım fonksiyonunu şu şekilde
tanımlarız:
Bu nedenle, F (x, y), X'in x'ten küçük veya ona eşit ve aynı anda Y'nin y'den küçük veya eşit olma
olasılığını belirtir.
X ve Y'nin her ikisi de ayrı rasgele değişkenlerse, X ve Y'nin birleşik olasılık kütle fonksiyonunu şu
şekilde tanımlarız:
Benzer şekilde, C ve D gerçek sayılarının herhangi bir kümesi için, X ve Y'nin ortak olasılık yoğunluk
fonksiyonu f (x, y) ile birlikte sürekli olduğunu söylüyoruz.
Rastgele değişkenler X ve Y'nin, herhangi iki gerçek sayı C ve D kümesi için bağımsız olduğu söylenir.
Yani, tüm C ve D kümeleri için A = {X e C} ve B = {Y e D} olayları bağımsızsa X ve Y bağımsızdır. Kabaca
konuşursak, X ve Y, birinin değerini ima etmek diğerinin olasılık dağılımını etkilemiyorsa bağımsızdır.
Bağımsız olmayan rastgele değişkenlerin bağımlı olduğu söylenir.
Olasılık aksiyomlarını kullanarak, X ve Y ayrık rasgele değişkenlerinin bağımsız olacağını gösterebiliriz,
ancak ve ancak, tüm x, y,
Benzer şekilde, X ve Y yoğunluk fonksiyonu f (x, y) ile birlikte sürekli ise, o zaman bağımsız olurlar,
ancak ve ancak, tüm x, y,
burada fx (x) ve fy (y) sırasıyla X ve Y'nin yoğunluk fonksiyonlarıdır.
2.5 Beklenti değer
Olasılıkta en kullanışlı kavramlardan biri, rastgele bir değişkenin beklentisidir. X, aşağıdakilerden birini
alan ayrık bir rastgele değişkense
olası değerler Xl, x2,. . . , daha sonra X'in ortalama olarak da adlandırılan ve E [X] ile gösterilen X'in
beklentisi veya beklenen değeri ile tanımlanır
Diğer bir deyişle, X'in beklenen değeri, X'in alabileceği olası değerlerin ağırlıklı ortalamasıdır; her
değer, X'in varsaydığı olasılıkla ağırlıklandırılır. Örneğin, X'in olasılık kütle fonksiyonu şu şekilde
verilirse:
, X'in alabileceği 0 ve 1 olası iki değerinin yalnızca sıradan ortalamasıdır. Öte yandan, eğer
p (1) = 2p (0) olduğu için 1 değerine 0 değerinin iki katı ağırlık verildiği iki olası 0 ve 1 değerinin
ağırlıklı ortalamasıdır.
Örnek 2b
Eğer I, A olayı için bir gösterge rasgele değişken ise, yani
Bu nedenle, gösterge rasgele değişkeninin(I) A olayına ilişkin beklentisi, yalnızca A'nın meydana
gelme olasılığıdır.
X olasılık yoğunluk fonksi- yonuna sahip sürekli bir rasgele değişken ise, Denklem (2.2) 'ye benzer
olarak, X'in beklenen değerini şu şekilde tanımlarız:
Örnek 2c
X'in olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilirse:
Şimdi, X rastgele değişkeninin değil, g (X) rastgele değişkeninin beklenen değerini belirlemek
istediğimizi varsayalım, burada g belirli bir fonksiyondur. X, x değerini aldığında g (X) g (x) değerini
aldığından, E [g (X)] 'nin belirli bir g (x) ile olası değerlerin ağırlıklı ortalaması olması sezgisel
görünmektedir. x, g (x) 'e verilen ağırlık, X'in x'e eşit olacağı olasılığa (veya sürekli durumda olasılık
yoğunluğuna) eşittir. Aslında, önceki renk tonu olarak gösterilebilir ve bu nedenle aşağıdaki sonucu
elde ederiz.
Önerme:
X, olasılık kütle fonksiyonu p (x) olan ayrık bir rastgele değişken ise, o zaman
oysa X olasılık yoğunluk fonksiyonu f (x) ile sürekli ise, o zaman
Yukarıdaki önermenin bir sonucu şudur.
Corollory a ve b sabitse, o zaman
İspat Ayrık durumda
Sürekli vakadaki ispat benzer olduğu için, sonuç belirlenir.
Herhangi iki rastgele değişken Xl ve Xo için beklentinin doğrusal bir işlem olduğu gösterilebilir.
vermek için kolayca genelleyen
Rastgele değişken X'in beklenen değeri olan E [X], X'in olası değerlerinin ağırlıklı ortalaması iken, bu
değerlerin değişimi hakkında hiçbir bilgi vermez. Bu varyasyonu ölçmenin bir yolu, X ve E [X]
arasındaki farkın karesinin ortalama değerini dikkate almaktır. Böylece aşağıdaki tanıma
yönlendiriliyoruz.
Tanım : X, ortalama nü'ye sahip rastgele bir değişkense, X'in Var (X) ile gösterilen varyansı şu şekilde
tanımlanır:
İspatı alıştırma olarak bırakılan kullanışlı bir kimlik, herhangi bir a ve b sabiti için
Rastgele değişkenlerin bir toplamının beklenen değeri, beklentilerin toplamına eşitken, karşılık gelen
sonuç, genel olarak, varyanslar için true değildir. Bununla birlikte, rastgele değişkenlerin bağımsız
olduğu önemli özel durumda önemlidir. Bunu kanıtlamadan önce, iki rastgele değişken arasındaki
kovaryans kavramını tanımlayalım.
Tanım Cov (X, Y) olarak gösterilen iki rastgele değişken X ve Y'nin kovaryansı şu şekilde tanımlanır:
Cov (X, Y) için faydalı bir ifade, yukarıdaki denklemin sağ tarafını genişleterek ve ardından beklentinin
doğrusallığından yararlanılarak elde edilir. Bu verir
Şimdi, bireysel varyansları ve aralarındaki kovaryans açısından Var (X + Y) için bir ifade türetiyoruz.
Dan beri
Bu bölümü, bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansının varyanslarının toplamına eşit
olduğunu göstererek sonlandırıyoruz.
Önerme: X ve Y bağımsız rasgele değişkenler ise, o zaman
Denklemden Kanıt: (2.3) E [XY]
E [X] E [Y]. Şimdi ayrı durumda,
Sürekli durumda benzer bir argüman geçerli olduğundan, sonuç kanıtlanmıştır.
İki rastgele değişken X ve Y arasındaki korelasyon, şu şekilde gösterilir:
Corr (X, Y), şu şekilde tanımlanır:
2.7 Chebyshev Eşitsizliği ve Büyük Sayıların Kanunları
Markov eşitsizliği olarak bilinen bir sonuçla başlıyoruz.
Önerme Markov Eşitsizliği X yalnızca negatif olmayan değerleri alırsa, o zaman herhangi bir değer için
İspat Rastgele değişken Y'yi şu şekilde tanımlayın:
X 0 olduğu için, bunu kolayca takip eder
Önceki eşitsizlik getirilerine ilişkin beklentilerin alınması ve sağlanan sonuç
Sonuç olarak, bir rastgele değişkenin ortalamasından standart sapmalarının k'den fazla olması
olasılığının 1 / k^2 ile sınırlandığını belirten Chebyshev eşitsizliğine sahibiz, burada rastgele bir
değişkenin standart sapması kare olarak tanımlanır. varyansının kökü.
Corollory Chebyshev Eşitsizliği X, ortalama ve varyansı ff2 olan rastgele bir değişkense, o zaman
herhangi bir k> 0 değeri için,
Teorem Büyük Sayıların Zayıf Yasası
Let Xl, X2,. . . olmak
A ortalamasına sahip bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler dizisi. Ardından,
herhangi bir E> 0 için,
Dolayısıyla, herhangi bir E> 0 için, k'nin kc / N / 72 = E olacak şekilde olmasına izin vererek, yani, k2 =
n € 2 / ff2 olarak bırakarak, görürüz
Zayıf yasanın bir genellemesi, büyük sayıların güçlü yasasıdır ve 1 olasılıkla,
Yani, kesin olarak, bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış rasgele değişkenler dizisinin uzun dönem
ortalaması ortalamasına yakınlaşacaktır.
2.8 Bazı Kesikli Rastgele Değişkenler
Uygulamalarda sıklıkla görülen belirli rasgele değişken türleri vardır.
Bu bölümde bazı ayrık olanları inceliyoruz.
Binom Rastgele Değişkenler
Varsayalım ki, her biri p olasılıkla bir "başarı" ile sonuçlanan n bağımsız frials gerçekleştirilecek. X, n
denemede meydana gelen başarıların sayısını temsil ediyorsa, X'in (n, p) parametreli bir iki terimli
rastgele değişken olduğu söylenir. Olasılık kütle fonksiyonu ile verilir
Nerede
Denklem (2.5) 'in geçerliliği, ilk olarak, i başarı ve n başarısızlıkla sonuçlanan herhangi bir belirli sonuç
dizisinin olasılığının dikkate alınmasıyla görülebilir.
bir dizi n öğeden seçilebilen i öğelerinin farklı alt kümelerinin sayısına eşit olan iki terimli katsayıdır.
, denemelerin varsayılan bağımsızlığına göre, pi (l - Denklem (2.5), i başarı ve n - i başarısızlıkla
sonuçlanan n sonucun (t) farklı dizileri olduğu için izler - başarılarla sonuçlanan i denemelerinin farklı
seçimleridir.
Binomiyal (1, p) rasgele değişken, Bernoulli rasgele değişkeni olarak adlandırılır. Binomiyal (n, p)
rastgele değişken X, n bağımsız denemedeki başarı sayısını temsil ettiğinden, her biri p olasılıkla bir
başarı ile sonuçlanır, bunu aşağıdaki gibi gösterebiliriz:
, denemelerin varsayılan bağımsızlığına göre, pi (l - Denklem (2.5), i başarı ve n - i başarısızlıkla
sonuçlanan n sonucun (t) farklı dizileri olduğu için izler - başarılarla sonuçlanan i denemelerinin farklı
seçimleridir.
Binomiyal (1, p) rasgele değişken, Bernoulli rasgele değişkeni olarak adlandırılır. Binomiyal (n, p)
rastgele değişken X, n bağımsız denemedeki başarı sayısını temsil ettiğinden, her biri p olasılıkla bir
başarı ile sonuçlanır, bunu aşağıdaki gibi gösterebiliriz:
Yukarıdaki denklem, X gerçeğini nerede kullanırX? = Xi (since 02 = 0 and 1 2 = 1). Dolayısıyla, temsil
(2.6), iki terimli (n, p) rasgele değişken X için,
Pi + 1'i Pi cinsinden ifade eden aşağıdaki özyinelemeli formül, iki terimli olasılıkları hesaplarken
kullanışlıdır:
Poisson Rastgele Değişkenler
0, 1, 2 değerlerinden birini alan rastgele bir X değişkeninin, eğer olasılık kütle fonksiyonu şu şekilde
verilirse, A, A> 0 parametresine sahip bir Poisson rastgele değişkeni olduğu söylenir
E = lim n (1 + l / n) n ile tanımlanan e sembolü, matematikte kabaca 2.7183'e eşit olan ünlü bir
sabittir.
Poisson rastgele değişkenlerinin geniş bir uygulama alanı vardır. Bunun bir nedeni, bu tür rastgele
değişkenlerin, her denemenin küçük bir olma olasılığı olduğunda çok sayıda denemede (bağımsız
veya en fazla "zayıf bağımlı" olan) başarı sayısının dağılımını yaklaşık olarak tahmin etmek için
kullanılabilmesidir. başarı. Bunun neden böyle olduğunu anlamak için, X'in (n, p) parametreli iki
terimli bir rasgele değişken olduğunu varsayalım - ve bu, her deneme p olasılıkla başarılı olduğunda n
bağımsız denemedeki başarı sayısını temsil eder -p ve let lamda = np. Sonra
İki terimli ve Poisson rastgele değişkenleri arasındaki ilişki göz önüne alındığında, A parametresine
sahip bir Poisson rastgele değişkeni X için, sezgiseldir lamda,
(önemli)
N'nin ortalama h ile bir Poisson rasgele değişkeni olduğu belirli bir sayı, N'nin meydana geleceğini
varsayalım. Ayrıca, meydana gelen her olayın bağımsız olarak ya p olasılığı olan bir tip 1 olay ya da
olasılıkla 1 —p olan bir tip 2 olay olacağını varsayalım. Bu nedenle Ni, tip i, i = 1, 2 olan olayların
sayısına eşitse, N NI + Hayır. Yararlı bir sonuç, rasgele değişkenler NI ve No'nun, ilgili araçlarla
bağımsız Poisson rastgele değişkenleri olmasıdır
Bu sonucu kanıtlamak için, n ve m'nin negatif olmayan tamsayılar olmasına izin verin ve PINI = n, N2 =
m) ortak olasılığını düşünün. P {NI = n, N2 = mlN # n + m} = 0 olduğundan, N = n + m'nin verip
vermediğine bağlı olarak
Geometrik Rastgele Değişkenler
Her biri olasılıkla başarılı olan bağımsız denemeleri düşünün p. X, başarılı olan ilk denemenin sayısını
temsil ediyorsa, o zaman
Bu, ilk başarının n'inci denemede gerçekleşmesi için, ilk n-1'in hepsinin başarısızlık ve n'inci bir başarı
olması gerektiğine dikkat çekilerek kolayca elde edilebilir. Denklem (2.7) artık denemeler bağımsız
olduğu için takip etmektedir.
Olasılık kütle fonksiyonu (2.7) ile verilen bir rastgele değişkenin, p parametresine sahip bir geometrik
rastgele değişken olduğu söylenir. Geometriklerin ortalaması şu şekilde elde edilir:
0 <x <1 için yukarıdaki denklem cebirsel özdeşliği kullandığında,
Bunu göstermek de zor değil
Negatif Binom Rastgele Değişken
X'in, her bir deneme bağımsız olarak p olasılığına sahip bir başarı olduğunda, toplam r başarı elde
etmek için gereken deneme sayısını göstermesine izin verirsek, X'in negatif bir iki terimli olduğu
söylenir, bazen Pascal olarak adlandırılır, p ve r parametreli rastgele değişken . Böyle bir rastgele
değişkenin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki şekilde verilmiştir:
Denklem (2.8) 'in neden geçerli olduğunu görmek için, başarıları toplamak için tam olarak n deneme
yapabilmesi için, ilk n - 1 denemelerinin tam olarak r - 1 başarıları ile sonuçlanması gerektiğini ve
bunun olasılığının (nr-_ l) lpr¯ l (1 - o zaman n'inci deneme başarılı olmalıdır - ve bunun olasılığı p'dir.
Xi'nin, i = 1… r'nin, i'inci başarıyı elde etmek için (i - 1 başarısından sonra gereken deneme sayısını
göstermesine izin verirsek, p ortak parametresine sahip bağımsız geometrik rastgele değişkenler
olduklarını görmek kolaydır.
Hipergeometrik Rastgele Değişkenler
N'si açık renkli ve M'si koyu renkli olan N+M topları içeren bir torbayı düşünün. Eğer n büyüklüğünde
bir örnek rastgele seçilirse [n büyüklüğünün (N + M n ) alt kümelerinin her birinin eşit olasılıkla
seçilmesi anlamında], seçilen açık renkli topların sayısı olan X olasılık kütle fonksiyonuna sahiptir.
Olasılık kütle fonksiyonu önceki denklem tarafından verilen rastgele bir X değişkenine hipergeometrik
rastgele değişken denir.
N tane topun sırayla seçildiğini varsayalım. İzin verirsek
Yukarıdaki denklem, simetri ile i'inci seçimin N + M toplarından herhangi biri olma ihtimalinin eşit
olduğu ve dolayısıyla E [Xi] = P {Xi = 1} = N / (N + M) olduğu gerçeğini kullanır.
Xi bağımsız olmadığından (neden olmasın?) Var (X) 'i hesaplamak için temsilin (2.9) kullanımı
kovaryans terimlerini içerir. Son ürünün sonucu verdiği gösterilebilir
Normal Rastgele Değişkenler
Rastgele bir değişken X'in, ortalama /.L ve varyans ile normal olarak dağıtıldığı söylenir, eğer olasılık
yoğunluk fonksiyonu,
Normal yoğunluk, simetrik olan çan şeklindeki bir eğridir (bkz. Şekil 2.1).
Normalin parametrelerinin ve eşitlerinin ve varyansının gösterilmesi zor değildir. Yani,
Normal rastgele değişkenlerle ilgili önemli bir gerçek, eğer X ortalama ve F varyansı ile normalse, o
zaman herhangi bir sabit a ve b için, aX + b normal olarak ortalama ap + b ve varyans a2 c2 ile
dağıtılır. Buradan, X ortalama ve varyans $^2 ile normalse, o zaman
ortalama 0 ve varyans 1 ile normaldir. Böyle bir rastgele değişken Z'nin standart (veya birim) bir
normal dağılımına sahip olduğu söylenir. Dağıtım fonksiyonunu gösterelim
standart bir normal rastgele değişkenin; yani,
X ortalamayla normal ve varyans olduğunda Z = (X - P) / c'nin standart bir normal dağılımına sahip
olması sonucu, X ile ilgili tüm olasılıkları örneğin, dağılım fonksiyonu açısından değerlendirmemize
izin verdiği için oldukça kullanışlıdır. X olarak ifade edilebilir
Değeri, tabloya bakarak veya yaklaşık olarak bir bilgisayar programı yazarak belirlenebilir.
Ø(1.64) = 0.95,
q1.96) = 0.975,q2.33) = 0.99
Normal rastgele değişkenlerin geniş uygulanabilirliği, olasılık teorisinin en önemli teoremlerinden biri
olan, çok sayıda bağımsız rastgele değişkenin toplamının yaklaşık olarak normal bir dağılıma sahip
olduğunu öne süren cenfral limit teoreminden kaynaklanır. Bu dikkat çekici teoremin en basit şekli
aşağıdaki gibidir.
Merkezi Limit Teoremi
Let Xl, X2,. . . sonlu ortalama I..L ve sonlu varyansı o- olan bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış rasgele
değişkenler dizisi olabilir. Sonra
Üstel Rastgele Değişkenler
Olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli bir rastgele değişken
Böyle bir rastgele değişkenin beklenen değerinin ve varyansının aşağıdaki gibi olduğunu doğrulamak
kolaydır.
Üstel rastgele değişkenlerin temel özelliği,
"hafızasız özellik", burada negatif olmayan rastgele değişken X
eğer hafızasız
Yukarıdaki denklem, X üstel bir rasgele değişken olduğunda sağlandığı için - bu durumda, P {X> x} = e Ax - üstel rastgele değişkenlerin hafızasız olduğunu görürüz (ve gerçekten de bunları göstermek zor
değildir. tek hafızasız rastgele değişkenlerdir).
Üstel rastgele değişkenlerin bir başka yararlı özelliği de kalmalarıdır.
pozitif bir sabitle çarpıldığında üstel. Bunu görmek için, X'in A parametresiyle üstel olduğunu ve c'nin
pozitif bir sayı olduğunu varsayalım. Sonra
Ben - e
bu cX'in A / c parametresiyle üstel olduğunu gösterir.
X, ilgili olan bağımsız üstel rastgele değişkenler olsun.
oranları merhaba, A. Yararlı bir sonuç, min (X, Xn) değerinin üstel olmasıdır.
Poisson Süreci ve Gama Rastgele Değişkenler
"Olayların" rastgele zaman noktalarında meydana geldiğini varsayalım ve N (t) şunu göstersin:
[0, t] zaman aralığında meydana gelen olayların sayısı. Bu olayların, A, A> 0 oranına sahip bir Poisson
süreci oluşturduğu söylenir.
a)N(0)=0
(b) Ayrık zaman aralıklarında meydana gelen olayların sayısı bağımsızdır.
(c) Belirli bir aralıkta meydana gelen olayların sayısının dağılımı, yalnızca aralığın uzunluğuna bağlıdır,
konumuna değil.
Böylece Koşul (a), sürecin 0 zamanında başladığını belirtir. Bağımsız artış varsayımı olan (b) koşulu, t
[yani, N (t)] zamanına göre olay sayısının meydana gelen olayların sayısından bağımsız olduğunu
belirtir. t ile t + s arasında [yani, N (t + s) - N (t)]. Durağan artış varsayımı olan (c) koşulu, N (t + s) - N
(t) olasılık dağılımının t'nin tüm değerleri için aynı olduğunu belirtir. (D) ve (e) koşulları, h
uzunluğunun küçük bir aralığında, bir olayın meydana gelme olasılığının yaklaşık Ah olduğunu, halbuki
iki veya daha fazla olasılığın yaklaşık 0 olduğunu belirtir.
n
Şimdi, bu varsayımların, t uzunluğundaki bir aralıkta meydana gelen olayların sayısının, ortalama At
olan bir Poisson rastgele değişkeni olduğunu ima ettiğini iddia ediyoruz. Bunu yapmak için, [0, t]
aralığını göz önünde bulundurun ve bunu t / n uzunluğunun örtüşmeyen n alt aralığına bölün (Şekil
2.3). Önce bir olay içeren bu alt aralıkların sayısını düşünün. Her bir alt aralık bağımsız olarak [Koşul
(b) 'ye göre], yaklaşık olarak At / n'ye eşit olan [Koşul (c)' ye göre] aynı olasılığa sahip bir olay
içerdiğinden, bu tür aralıkların sayısının parametreli iki terimli rastgele bir değişken olduğunu izler. n
ve p At / n. Bu nedenle, iki terimliğin Poisson'a yakınsamasını sağlayan argümanla, bu tür alt
aralıkların sayısının ortalama At olan bir Poisson rastgele değişkenine yakınsadığını n -5-oo'ya
bırakarak görürüz. (E) koşulunun, bu alt aralıklardan herhangi birinin iki veya daha fazla olay içermesi
olasılığının n - + 00 olarak 0'a gittiğini ima ettiği gösterilebileceği gibi, [0'da meydana gelen olayların
sayısı olan N (t) , t], ortalama At olan bir Poisson rastgele değişkendir.
Bir Poisson süreci için, Xl'in ilk olayın zamanını göstermesine izin verin. Ayrıca, n> 1 için, xn, (n - l) ve
n'inci olay arasında geçen süreyi göstersin. {Xn, n = 1, 2} dizisine varışlar arası zamanlar dizisi denir.
Örneğin, Xl 5 ve Xo = 10 ise, Poisson sürecinin ilk olayı 5. zamanda ve ikincisi 15. zamanda meydana
gelecektir.
Şimdi xn'nin dağılımını belirliyoruz. Bunu yapmak için, ilk olarak {Xl> t} olayının, ancak ve ancak [0, t]
aralığında Poisson sürecinin hiçbir olayı gerçekleşmediğinde gerçekleştiğini not ediyoruz; Böylece
Dolayısıyla, Xl'in ortalama 1 / A ile üslü bir dağılımı vardır. Xo dağılımını elde etmek için şunu
unutmayın:
son iki denklemin bağımsız ve durağan artışlardan sonra geldiği yer. Bu nedenle, yukarıdakilerden,
Xo'nun aynı zamanda ortalama 1 / A olan üstel bir rastgele değişken olduğu ve ayrıca Xo'nun Xl'den
bağımsız olduğu sonucuna varıyoruz. Aynı argümanı tekrarlamak:
Önerme :
varışlar arası dişler X1, Xo,. . bağımsız ve A parametresiyle aynı şekilde dağıtılmış üstel rastgele
değişkenlerdir.
Sn = Ein_ Xi n'inci olayın zamanını göstersin. Sn, t'den küçük veya t'ye eşit olacağından, ancak ve
ancak t zamanında en az n olay olmuşsa, bunu görüyoruz
Tanım Olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir randonz değişkeni
parametreler (n, A) ile bir ganzrna rastgele değişkeni olduğu söylenir.
Böylece, X oranına sahip bir Poisson sürecinin n'inci olayının zamanı olan sn'nin (n, A) parametreli bir
gama rastgele değişkeni olduğunu görüyoruz. Ek olarak, Sn = Ein_l Xi temsilinden ve bu Xi'nin A hızına
sahip bağımsız üsteller olduğunu belirten önceki önermeden elde ederiz, aşağıdaki sonuç
Sonuç Her biri A parametresine sahip n bağımsız üstel rastgele değişkenin toplamı, (n, X) parametreli
bir gama rastgele değişkendir.
Homojen Olmayan Poisson Süreci
Bir modelleme bakış açısından, Poisson sürecinin en büyük zayıflığı, olayların eşit büyüklükteki tüm
aralıklarda meydana gelme olasılığı olduğu varsayımıdır. Bu varsayımı gevşeten bir genelleme,
homojen olmayan veya durağan olmayan bir sürece yol açar.
"Olaylar" zaman içinde rastgele meydana geliyorsa ve N (t) t zamanında meydana gelen olayların
sayısını gösteriyorsa, {N (t), t >=0} yoğunluk fonksiyonu lamda (t ), t>= 0, eğer
(b) Ayrık zaman aralıklarında meydana gelen olayların sayısı bağımsızdır.
(c) P {t ile t + h arasında tam olarak 1 olay) / h = A (t). (d) limit * o P {t ve t + h arasında 2 veya daha
fazla olay) / h = 0.
ortalama değer işlevi olarak adlandırılır. Aşağıdaki sonuç belirlenebilir.
Önerme: N (t + s) - N (t), ortalama m (t + s) - m (t) olan bir Poisson rastgele değişkenidir.
T zamanındaki yoğunluk olarak adlandırılan A (t) miktarı, t zamanı civarında bir olayın meydana
gelmesinin ne kadar muhtemel olduğunu gösterir. [A (t) A olduğunda, homojen olmayanın olağan
Poisson sürecine geri döndüğüne dikkat edin.] Aşağıdaki önerme, homojen olmayan bir Poisson
sürecini yorumlamanın yararlı bir yolunu verir.
Önerme: Olayların A oranına sahip bir Poisson sürecine göre gerçekleştiğini ve t zamanında meydana
gelen bir olayın daha önce gelen herhangi bir şeyden bağımsız olarak p (t) olasılığı ile sayıldığını
varsayalım. Daha sonra sayılan olayların süreci, yoğunluk fonksiyonu Å (t) = Ap (t) ile homojen
olmayan bir Poisson süreci oluşturur.
İspat Bu önerme, daha önce verilen koşulların tamamının karşılandığına dikkat çekilerek
kanıtlanmıştır. (A), (b) ve (d) koşulları karşılık gelen sonuç tüm (yalnızca sayılan değil) olaylar için
geçerlidir. Durum (c) şu tarihten itibaren
2.10 Koşullu Beklenti ve Koşullu Varyans
X ve Y birlikte ayrı rasgele değişkenler ise, Y y verildiğinde X'in koşullu beklentisi olan E [XIY y] 'yi
tanımlarız.
Başka bir deyişle, X'in koşullu beklentisi, Y = y olduğu için, E [X] gibi tüm olası X değerlerinin ağırlıklı
ortalaması olarak tanımlanır, ancak şimdi x değerine verilen ağırlık koşulluya eşittir. Y'nin y'ye eşit
olması durumunda X'in x'e eşit olma olasılığı.
Benzer şekilde, X ve Y ortak yoğunluk fonksiyonu f (x, y) ile birlikte sürekli ise, Y = y olduğu için X'in
koşullu beklentisini şu şekilde tanımlarız:
E [XIY], değeri Y = y olan rastgele değişken Y'nin fonksiyonunu göstersin.
E [XIY = y]; ve E [XIY] 'nin kendisinin rastgele bir değişken olduğuna dikkat edin. Aşağıdaki önerme
oldukça kullanışlıdır.
Proposition
Y'nin değeri verildiğinde X'in koşullu varyansını aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz:
Yani, Var (Xl) ') Y'nin bir fonksiyonudur ve Y = y'de Y = y olduğu için X'in varyansına eşittir. Var (X) - E
[X2] - (E [X]) 2 kimliğini ortaya çıkaran aynı mantıkla buna sahibiz
Random Numbers
Giriş
Bir simülasyon çalışmasının yapı taşı, rastgele
Rastgele bir sayının (0, 1) üzerine eşit olarak dağıtılmış bir rastgele değişkenin değerini temsil ettiği
sayılar. Bu bölümde, bu tür numaraların nasıl bilgisayarda oluşturulduğunu açıklıyoruz ve ayrıca
kullanımlarını göstermeye başlıyoruz.
3.1 Sözde Rastgele Sayı Üretimi
Rastgele sayılar, dönen tekerlekler, zar atma veya kart gibi teknikler kullanılarak orijinal olarak
manuel veya mekanik olarak üretilirken
Modern yaklaşım, art arda sahte rasgele sayılar üretmek için bir bilgisayar kullanmaktır. Bu sözde
rasgele sayılar, deterministik olarak oluşturulmuş olmalarına rağmen, bağımsız tekdüze (0, 1) rasgele
değişkenler gibi görünen tüm görünümlere sahip bir değerler dizisi oluşturur.
Sözde rasgele sayılar oluşturmaya yönelik en yaygın yaklaşımlardan biri, tohum adı verilen bir
başlangıç değeri xo ile başlar ve ardından, ardışık x ", n> 1 değerlerini,
a ve m'ye pozitif tamsayılar verildiğinde ve yukarıdaki ifade, ax „_, ile bölünür ve kalanı xn değeri
olarak alınır. Bu nedenle, her x „, 0, 1, dir. in-1 ve xn / m miktarı - sözde rasgele sayı olarak adlandırılır
- tek tip (0, 1) rasgele değişkenin değerine bir yaklaşım olarak alınır.
Denklem (3.1) tarafından rastgele sayılar üretmek için belirtilen yaklaşıma,
çarpımsal eşleşik yöntem. X „sayılarının her biri 0, 1, değerlerinden birini varsaydığı için. in-1, üretilen
değerlerin bir miktar sonlu sayısından sonra (en fazla in) bir değerin kendini tekrar etmesi gerekir; ve
bu gerçekleştiğinde tüm dizi tekrar etmeye başlayacaktır. Bu nedenle, a sabitlerini seçmek istiyoruz
ve böylece, herhangi bir başlangıç çekirdeği x0 için, bu tekrar gerçekleşmeden önce üretilebilecek
değişkenlerin sayısı büyüktür.
Genel olarak, a ve nz sabitleri üç kriteri karşılayacak şekilde seçilmelidir:
1. Herhangi bir ilk tohum için, ortaya çıkan dizi, bağımsız tek tip (0, 1) rastgele değişkenler dizisi olma
"görünümüne" sahiptir.
2. Herhangi bir ilk tohum için, tekrar başlamadan önce oluşturulabilecek değişkenlerin sayısı
büyüktür.
3. Değerler, dijital bir bilgisayarda verimli bir şekilde hesaplanabilir.
Yukarıdaki üç koşulu yerine getirmede yardımcı olduğu görülen bir kılavuz, içinde bilgisayar kelime
boyutuna uydurulabilecek büyük bir asal sayı olarak seçilmesi gerektiğidir. 32 bitlik bir kelime
makinesi için (ilk bitin bir işaret biti olduğu) in = 231 —1 ve a = 75 = 16, 807 seçimlerinin istenen
özelliklerle sonuçlandığı gösterilmiştir. (36 bitlik bir kelime makinesi için m = 235 - 31 ve a = 55
seçenekleri iyi çalışıyor gibi görünmektedir.)
Başka bir sözde rasgele sayı üreteci, türün özyinelemelerini kullanır
Bu tür üreteçlere karma eşlenik üreteçler denir (hem toplamayı hem de çarpımsal terimi içerdikleri
için). Bu tür üreteçleri kullanırken, çoğu zaman bilgisayarın kelime uzunluğuna eşit olmayı seçer,
çünkü bu, (ax „_i + c) modulo'nun hesaplanmasını —yani, axn_i c'nin in'e bölünmesini — oldukça
verimli kılar.
Sistemlerin bilgisayar simülasyonunda başlangıç noktamız olarak, bağımsız tek tip (0, 1) rasgele bir
dizinin değerlerine bir yaklaşım olarak alınabilecek bir sözde rasgele sayı dizisi oluşturabileceğimizi
varsayıyoruz.
değişkenler. Yani, bu metnin kapsamı dışındaki materyalleri içeren ve "iyi" sözde rasgele sayı
üreteçlerinin inşası ile ilgili ilginç teorik soruları incelemiyoruz. Bunun yerine, istek üzerine rastgele bir
sayı veren bir "kara kutumuz" olduğunu varsayıyoruz.
3.2 İntegralleri Değerlendirmek için Rastgele Sayıları Kullanma
Rastgele sayıların ilk uygulamalarından biri integrallerin hesaplanmasıydı. G (x) bir fonksiyon olsun ve
8'i hesaplamak istediğimizi varsayalım burada = f g (x) dx
0 değerini hesaplamak için, U (0, 1) üzerine eşit olarak dağıtılmışsa, o zaman 0'ı şu şekilde ifade
edebiliriz:
U1 ise,. , U. bağımsız tekdüze (0, 1) rasgele değişkenlerdir, bu nedenle rasgele değişkenler g (U1),, g
(Uk) bağımsızdır ve ortalama 0 olan aynı şekilde dağıtılmış rasgele değişkenlerdir. sayılar, 1 olasılıkla,
Bu nedenle, çok sayıda rasgele sayı üreterek ve yaklaşık olarak g (it,) 'nin ortalama değerini alarak 0'a
yaklaşabiliriz. İntegralleri yaklaştırmaya yönelik bu yaklaşıma Monte Carlo yaklaşımı denir.
Hesaplamak isteseydik
burada h (y) = (b - a) g (a + [b - a] y). Böylece, sürekli olarak rasgele sayılar üreterek ve ardından bu
rasgele sayılarda değerlendirilen h'nin ortalama değerini alarak 0'a yaklaşabiliriz.
Benzer şekilde, istersek
İntegrallere yaklaşmak için rastgele sayılar kullanmanın faydası, çok boyutlu integraller durumunda
daha belirgin hale gelir. G'nin n boyutlu argümanı olan bir fonksiyon olduğunu ve hesaplamayla
ilgilendiğimizi varsayalım.
0'ı tahmin etmek için Monte Carlo yaklaşımının anahtarı, 0'ın aşağıdaki beklenti ile ifade edilebileceği
gerçeğinde yatmaktadır:
nerede U1,. , Un bağımsız tekdüze (0, 1) rastgele değişkenlerdir. Dolayısıyla, her biri n bağımsız
tekdüze (0, 1) rastgele değişkenden oluşan k bağımsız küme üretirsek
daha sonra, rastgele değişkenler g (t11,., UD, i = 1,.., k, hepsi bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış
ortalama 0 olan rastgele değişkenler olduğundan, 0'ı şu şekilde tahmin edebiliriz:
Yukarıdakilerin bir uygulaması için, aşağıdaki yaklaşımı göz önünde bulundurun:
tahmin