Download Olasılık ve Olasılık Dağılımları-birleştirildi

Survey
yes no Was this document useful for you?
   Thank you for your participation!

* Your assessment is very important for improving the work of artificial intelligence, which forms the content of this project

Document related concepts
no text concepts found
Transcript
BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI
Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya
çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney denir.
Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle
harfi ile gösterilir.
Olay: Örnek uzayın bir altkümesine Olay denir.
Ayrık Olay: İki olay aynı anda meydana gelemiyorsa bu olaylara ayrık olaylar denir. Diğer
bir ifadeyle kesişimleri boş küme olan olaylara ayrık olaylardenir.
Olasılık: Her olaya 0 ile 1 arasında bir gerçel sayı tahsis eden bir fonksiyondur. Olasılık
fonksiyonunun belirtildiği örnek uzaya olasılık uzayı denir.
Örnek uzaydaki her noktaya (basit rasgele olay) ve her alt kümeye (bileşik rasgele olay)
olasılık uzayında bir nokta (bir olasılık) karşılık gelir.
Örnek 3.1 Bir zar atıldığında çift sayı gelmesi olasılığı nedir?
Örnek uzay, yani tüm mümkün sonuçların kümesi,
dır.
olayı olsun. Buna göre,
dir.
3.1 Olasılık Aksiyomları
1) Herhangi bir A olayı için
2)
3) ile ayrık olmayan iki olay ise
4) ile ayrık iki olay ise
(Yani, ile ayrık iki olay ise
dir.)
5) A olayı S örnek uzayının bir alt kümesi olsun. A olayının tümleyeninin olasılığı,
dır.
3.2 Koşullu Olasılık
Bir olayın, başka bir olayın meydana gelmesi koşulu altında ortaya çıkması olasılığıdır.
olayı bilindiğinde olayının ortaya çıkması olasılığı,
39
ile gösterilir ve
olayı verilmişken
Eğer bir olayının ortaya çıkması
bağımsız olaylardır ve
olayının koşullu olasılığı olarak adlandırılır.
olayının ortaya çıkmasına bağlı değilse
dir. Bu durumda,
dır. Aynı şekilde,
dir.
Örnek 3.2
ve
iki olay olsun, öyleki;
olmak üzere aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Örnek 3.3
a)
b)
ve
ve
ayrık iki olay ise p’ yi bulunuz.
bağımsız iki olay ise p’ yi bulunuz.
a)
ile
ayrık iki olay ise
olduğu biliniyor. Buna göre,
dir. Buna göre,
40
ve
olayları
b)
ile
bağımsız iki olay ise
dır. Buna göre;
Örnek 3.4 Diş hekimliği fakültesinde okuyan öğrencilerin 0.30’ u biyoistatistikten, 0.20’ si
biyokimyadan ve 0.15’ i hem biyoistatistik hem de biyokimyadan başarısız olmuştur.
Öğrenciler içinden rasgele seçilen bir öğrenci,
a) Biyoistatistikten başarısız ise, biyokimyadan da başarısız olması olasılığı nedir?
b) Biyokimyadan başarısız ise, biyoistatistikten başarısız olma olasılığı nedir?
A: Biyoistatistikten başarısız olma olayı
B: Biyokimyadan başarısız olma olayı
a)
b)
Örnek 3.5 Yapılan bir çalışmada hastaların 0.20’ si hem aspirin, hem de novaljin, 0.40’ ı
sadece aspirin ve 0.30’ u da sadece novaljin kullanmaktadır. Rasgele seçilen bir hastanın
aspirin kullandığı biliniyorsa, bu hastanın novaljin de kullanması olasılığı nedir?
Aspirin kullanma olayı
Novaljin kullanma olayı
3.3. Permütasyon ve Kombinasyon
Permütasyon: n farklı elemandan r tanesinin bir sıralanması r’ li permütasyon (sıra düzen)
olarak adlandırılır.
ile gösterilir,
41
Örnek 3.6
a)
a
b
c
d
b)
olmak üzere 3’ lü permütasyonları nelerdir?
b
c abc
d abd
c
b acb
d acd
d
b adb
c adc
a
c bac
d bad
c
a bca
d bcd
d
a bda
c bdc
a
b cab
d cbd
b
a cba
d cbd
d
a cda
b cdb
a
b dab
c dac
b
a dba
c dbc
c
a dca
b dcb
’ nin 3’ lü permütasyonlarının sayısı;
4 3 2
a)
Örnek 3.7 Bir eczacı, bir diş hekimi, bir doktor ve bir biyolog yan yana kaç farklı şekilde
oturabilir?
Örnek 3.8 Bir eczacı, bir diş hekimi, bir doktor, bir hemşire ve bir hastabakıcıdan sadece ikisi
yan yana kaç farklı şekilde oturabilir?
42
Kombinasyon: Düzenleme sırasına bakılmaksızın n tane nesneden r tanesinin seçimi n’ nin r’
li kombinasyonu olarak adlandırılr ve
ile gösterilir,
Örnek 3.9
olmak üzere 3’ lü kombinasyonları nelerdir?
olmak üzere 4’ tür.
Kombinasyon formülü ile,
Örnek 3.10 5 doktor ve 7 eczacıdan 2’ si doktor ve 3’ ü eczacı olmak üzere 5 kişilik bir
komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir?
5 doktordan 2 tanesinin seçilmesi,
7 eczacıdan 3 tanesinin seçilmesi,
farklı durumda ortaya çıkabilir. O halde, söz konusu komisyon
farklı şekilde oluşturulabilir.
3.4 Rasgele Değişken
Rasgele Değişken: Bir örnek uzaydaki her rasgele olaya sayısal bir değer atayan bir
fonksiyondur. Rasgele değişken
gibi büyük harflerle gösterilir.
Rasgele değişkenler kesikli rasgele değişken ve sürekli rasgele değişken olmak üzere ikiye
ayrılır. Bir
rasgele değişkeninin olanaklı değerlerinin sayısı sonlu veya sayılabilir ise
kesikli rasgele değişken denir. Bir
’e
rasgele değişkeninin olanaklı değerleri bir aralıktan ya
da aralıklar koleksiyonundan oluşuyor ise ’ e sürekli rasgele değişken denir.
kesikli bir rasgele değişken olduğunda,
43
fonksiyonuna
rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu denir. Bir
fonksiyonun olasılık
fonksiyonu olabilmesi için aşağıdaki iki şartı sağlaması gerekir.
1.
2.
sürekli bir rasgele değişken olduğunda,
olacak şekilde bir
fonksiyonu varsa bu
yoğunluk fonksiyonu denir. Bir
fonksiyonuna
rasgele değişkeninin olasılık
fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için
aşağıdaki iki şartı sağlaması gerekir.
1.
2.
3.5 Beklenen Değer ve Varyans
bir rasgele değişken olmak üzere,
a) Kesikli
rasgele değişkeni için
değerine ,
b) Sürekli
olduğunda)
rasgele değişkeni için
değerine, (
olduğunda)
’ in beklenen değeri denir.
sayısına
varyansı denir.
’ in
noktasına göre
ile gösterilir
momenti denir.
sayısına
’ in
olmak üzere,
dir. Beklenen değer, dağılımın merkezi hakkında, varyans merkez etrafında yayılım hakkında
bilgi verir.
44
Not:
bir rasgele değişken,
ve
birer rasgele değişken olmak üzere beklenen değer ve
varyans için aşağıdaki özellikler yazılabilir.
a.
b.
Örnek 3.11
rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu,
olmak üzere,
c.
değerini hesaplayınız.
d.
e.
f.
g.
h.
a)
fonksiyonunun olasılık fonksiyonu olması için,
şartını sağlaması gerekir. Buna göre,
olmalıdır. Yani,
olmalıdır. Buna göre,
45
1
2
3
4
0.1
0.2
0.3
0.4
biçiminde yazılabilir.
b)
c)
d)
e)
f)
Örnek 3.12
rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
olmak üzere,
46
a)
değerini hesaplayınız.
b)
c)
d)
e)
f)
a)
c)
d)
e)
f)
Örnek 3.13
,
olmak üzere
,
beklenen değer ve varyansını bulunuz.
47
rasgele değişkeninin
Örnek 3.14
ve
olmak üzere
,
48
3.5. Bazı Kesikli Dağılımlar
3.5.1. Bernoulli Dağılımı
Bir deneyde başarı ve başarısızlık diye nitelendirilen iki sonuçla ilgilenildiğinde bu deneye
(iki sonuçlu) Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi denir.
başarı olasılığı
başarısızlık olasılığı
başarı-başarısız/ sağlam-bozuk/ olumlu-olumsuz/ ölü-canlı
Bernoulli dağılımının olasılık fonksiyonu
şeklinde verilir.
0
1
Bernoulli dağılımın beklenen değer ve varyansı aşağıdaki gibidir:
3.5.2. Binom Dağılımı
Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez
tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir.
Binom deneyinin aşağıdaki koşulları sağlaması gerekir:




Deney süresince örneklemde denek sayısı ya da deneme sayısı değişmez olmalıdır.
Denemeler birbirinden bağımsızdır.
Her denemede iki olası sonuç vardır (istenen ve istenmeyen olay).
Her denemede ilgilenilen olay olasılığı değişmezdir. Dolayısıyla istenmeyen olay
olasılığı
de değişmezdir.
49
Binom dağılımı kesikli bir olasılık dağılımıdır.
olduğunda
ile gösterilir.
rasgele değişkeni binom dağılımına sahip
Binom dağılımının olasılık fonksiyonu,
şeklinde verilir.
Binom dağılımının beklenen değer ve varyansı aşağıdaki gibidir:
Çarpıklık katsayısı
,
basıklık katsayısı
Örnek 3.15. Bir kutuda bulunan 10 tabletten 5 tanesi aspirindir. Bu kutudan yerine koyarak 3
tablet çekildiğinde 2 tanesinin aspirin olması olasılığı nedir?
Çekilen tabletin aspirin olması
Örnek 3.16. İlaç üreten bir firma ürettiği ilaçları ambalajlayarak satışa sunmaktadır.
Ambalajlanan ilaç paketlerinin %10’unun istenen standarda uymadığı bilinmektedir. Bu
ambalajlanmış ilaç paketlerinden 5 tanesi yerine koyularak rasgele olarak seçildiğinde,
a) Hepsinin de ambalajının istenilen standarda uygun olması olasılığı nedir?
b) Sadece 2’sinin ambalajının istenilen standarda uygun olması olasılığı nedir?
c) En az 4’ünün ambalajının istenilen standarda uygun olması olasılığı nedir?
d) En fazla 2’sini ambalajının istenilen standarda uygun olması olasılığı nedir?
e) Ambalajı istenilen standarda uygun olması beklenen ilaç paketi sayısı nedir?
Ambalajı istenilen standarda uyan ilaç paketi sayısı
50
a)
b)
c)
d)
e)
Örnek 3.17. Belli bir ameliyatın başarılı sonuçlanması olasılığı %80’dir. Ameliyat edilen 10
hastadan,
a) 6’ sının iyileşmesi olasılığı nedir?
b) En az 9’ unun iyileşmesi olasılığı nedir?
c) En fazla 7’ sinin iyileşmesi olasılığı nedir?
d) Ameliyatı başarılı sonuçlanacak hastaların beklenen sayısını ve varyansını hesaplayınız.
Ameliyat sonrası iyileşen hasta sayısı
a)
b)
c)
51
daha önce bulunmuştu.
d)
3.5.3. Poisson Dağılımı
Bu dağılım, belirli bir aralıkta gerçekleşme olasılığının çok küçük olduğu durumlarda
kullanılır. Örneğin Ankara’da Beşevler kavşağında bir gün içerisinde meydana gelen trafik
kazaları, belli bir yılda meydana gelen doğal afetler, az rastlanan hastalıklar gibi.
Denek sayısı olan n büyük iken p de çok küçük ise binom dağılımı poisson dağılımına
yaklaşır. Genel olarak
olduğu zaman binom dağılımı yerine poisson dağılımı
kullanılabilir. Ayrıca n’ nin 20 den büyük olması koşulu vardır.
rasgele değişkeni Poisson dağılımına sahipse, bu değişkenin olasılık fonksiyonu aşağıdaki
gibidir:
gerçekleşen ortalama olay sayısı olup
dir.
Poisson dağılımının beklenen değer ve varyansı aşağıdaki gibidir.
Çarpıklık katsayısı
,
basıklık katsayısı
Örnek 3.18. Bir şehirde ender rastlanan bir hastalıktan, bir hafta içinde ortalama ölen kişi
sayısı 4’ dür. Belli bir hafta içinde bu hastalıktan,
a) Hiç kimsenin ölmemesi
b) En az 2 kişinin ölmesi
c) 3 kişinin ölmesi
olasılıklarını hesaplayınız.
52
,
a)
b)
c)
Örnek 3.19. Acil servise saat 1400-1500 arasında her 15 dakikada ortalama 3 ambulans
gelmektedir. Saat 1400-1500 arasında herhangi bir 15 dakika içinde acil servise,
a) Hiç araç gelmemesi
b) En az 1 araç gelmesi
c) 4 araç gelmesi
d) 5 araç gelmesi
e) En çok 2 araç gelmesi
olasılıklarını bulunuz.
,
a)
b)
c)
d)
e)
Örnek 3.20. Bir ülkedeki her 100000 ölüm vakasında ortalama 3 tanesi gıda
zehirlenmesinden ortaya çıkmaktadır. Belirli bir zaman dilimindeki 200000 ölüm vakasında
gıda zehirlenmesinden dolayı,
53
a) Sıfır ölüm vakasına
b) 6 ölüm vakasına
c) 6,7 ya da 8 ölüm vakasına,
rastlama olasılıklarını hesaplayınız.
a)
b)
c)
3.5.4. Geometrik Dağılım
Arka arkaya n kez tekrarlanan bir Bernoulli deneyinde ilk istenen sonucun (başarı ya da
başarısızlık) elde edilmesi için yapılan deney sayısı olan ’ e geometrik rasgele değişken
denir. Bu değişkenin dağılımı geometrik dağılım adını alır.
rasgele değişkeni geometrik dağılıma sahipse,
biçiminde gösterilir.
rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu,
biçimindedir.
Geometrik dağılımın beklenen değer ve varyansı aşağıdaki gibidir.
54
Örnek 3.21. Bir torbada 8 beyaz, 4 siyah top bulunmaktadır. Her defasında yerine konularak
bir top çekiliyor.
a) Beyaz topun ilk defa 5’inci çekilişte çıkma olasılığı nedir?
b)
rasgele değişkeni beyaz bir top çekmek için yapılan deney sayısı ise
değişkenin beklenen değer ve varyansı nedir?
rasgele
: İlk başarıya ulaşıncaya kadar yapılan deney sayısı
a)
b)
Örnek 3.22. Bir sınıfta sigara içen öğrenci olma olasılığı 0.40’ dır. Devam çizelgesinde ismi
belirlenen öğrenciye sigara içip içmediği soruluyor. 4’ üncü sırada sorulan öğrencinin ilk
sigara içen öğrenci olma olasılığı nedir?
: İlk başarıya ulaşıncaya kadar yapılan deneme sayısı
55
3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar
3.6.1 Normal Dağılım
Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir
dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının nedeni, yapılan birçok
gözlem sonucunun, çan biçiminde bir dağılım vermesi ve çoğu dağılımın denek sayısı arttıkça
normal dağılıma yaklaşmasıdır.
Sürekli bir
rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
biçiminde olduğunda, rasgele değişkenine normal dağılıma sahiptir denir ve
biçiminde gösterilir. Burada
ve
dağılımın parametreleridir.
kitle ortalaması
kitle varyansı
dır.
Aynı varyansa (
) fakat farklı ortalamalara
sahip normal dağılımlı
rasgele değişkenlere ilişkin olasılık yoğunluk fonksiyonlarının grafiği aşağıda verildiği
gibidir,
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-15
-10
-5
0
5
56
10
15
Aynı kitle ortalaması (
) ve farklı (
varyanslara sahip normal
dağılımlı rasgele değişkenlere ilişkin olasılık yoğunluk fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki
gibidir,
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
Normal Dağılımın Özellikleri;
a) Normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonunun yani
in altında kalan alan 1 dir.
b) Normal dağılım ortalamaya göre simetriktir. Yani,
dir.
c) Normal dağılıma sahip bir rasgele değişkeninin aritmetik ortalaması, ortancası ve tepe
değeri birbirlerine eşit ve ’ dür.
d) Deneklerin,
’ sı
’ sı
’ sı
’ü
sınırları içinde yer alırlar.
57
%68.26
%95.46
%99.74
%100
e) Normal dağılım için dağılım fonksiyonu;
olarak tanımlanır. Bu fonksiyon belli bir
değerinden daha küçük olma olasılıklarını verir.
Dağılım fonksiyonu kullanılarak,
olasılıkları hesaplanabilir. Dağılım fonksiyonunun şekli aşağıdaki gibidir.
58
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.50.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
ve
olan normal dağılıma standart normal dağılım denir. Standart normal
dağılıma sahip rasgele değişken genellikle Z harfi ile gösterilir.
rasgele
değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
dır.
normal dağılıma sahip bir rasgele değişken olmak üzere,
rasgele
değişkeni standart normal dağılıma sahip bir rasgele değişken olur ve bu durumda,
dır. Buna standartlaştırma işlemi denir. Simetri özelliğinden,
biçiminde yazılabilir. Standart normal dağılım için dağılım fonksiyonundan bulunan
olasılıkları veren tablolar düzenlenmiştir. Bu tablolar kullanılarak belli bir z değerine karşılık
gelen olasılık bulunabildiği gibi, belli bir olasılığa karşılık gelen z değeri de bulunabilir.
Örnek 3.23. Standart normal dağılıma sahip
hesaplayınız.
a)
b)
c)
59
değişkeni için aşağıda istenilen olasılıkları
a)
0
0.42
2.53
b)
0
1
c)
-1.56
0
60
2,53
Örnek 3.24 Bir hastanede belli bir hastalıkla ilgili bulunan hastaların tansiyonlarının
ortalaması 15 ve varyansı 9 olan normal dağılıma sahip oldukları bilinmektedir. Bu hastalar
içinden rasgele seçilen bir hastanın tansiyonunun,
a) 11 den küçük
b) 12 den büyük
c) 9 ile 16 arasında
olması olasılıklarını hesaplayınız.
olduğu biliniyor. Buna göre,
a)
-4
-3
-2
-1.33
0
1
2
3
4
b)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
c)
-4
-3
-2
-1
0.33
1
2
3
4
Örnek 3.25. Bir doğumevinde doğan bebeklerin ağırlıklarının ortalamasının 3.2 kg ve
standart sapmasının ise 0.3 kg olan bir normal dağılım gösterdiği bilinmektedir. Buna göre;
a) Bu doğumevinde doğan bebeklerin 3.2 kg ile 3.9 kg arasında olması olasılığı nedir?
b) Bu doğumevinde doğan bebeklerin 3.2 kg'dan daha hafif olması olasılığı nedir?
c) Bu doğumevinde doğan bebeklerin 2.8 kg ile 3.6 kg arasında olması olasılığı nedir?
d) Bir günde ortalama 200 bebeğin doğduğu kabul edilirse bu bebeklerden kaç tanesinin
ağırlığı 4 kg’ dan daha fazladır?
e) Bebeklerden en ağır %2.5’ i hangi ağırlığın üzerindedir?
f) Bebeklerden en hafif %5’ i hangi ağırlıktan daha düşüktür?
61
a)
Bu doğumevinde doğan bebeklerin %49.01’ inin ağırlığı 3.2 kg ile 3.9 kg arasındadır.
Bu doğumevinde doğan bebeklerin 3.2 kg’ dan daha hafif olması olasılığı %50'dir.
c)
Bu doğumevinde doğan bebeklerin %81.64’ ünün doğum ağırlığı 2.8 kg ile 3.6 kg arasındadır.
d)
Yani, bir günde doğan 200 bebeğin
’ inin ağırlığı 4 kg’ dan daha fazladır. Bu durumda
doğum ağırlığı 4 kg’ dan daha fazla olan bebek sayısı 200×0.0038=0.76, yaklaşık olarak l’
dir.
e)Bu soruda standart normal dağılım tablosuna tersten bakmak gerekir. Yani, elimizde belli
bir değerden büyük olması olasılığı varken bu değerin tablodan belirlenmesi gerekir. Bu
değere z diyelim,
0
z
ve tablodan 0.975 olasılığına karşılık gelen nokta arandığında z=1.96 olarak bulunur.
olduğundan,
olup
62
dır. Yani bu doğumevinde doğan bebeklerin %2.5’ inin ağırlığı 3.788 kilonun üzerindedir.
f) Aynı e şıkkı gibi burada da olasılıktan noktaya geçmek gerekir.
z
0
Belli bir z değerinden küçük kalma olasılığı 0.05 olduğundan aranılan değer tablonun negatif
kısmındadır. Bu değere – denilirse, simetriklik özelliğinden,
olup,
dir. Tablodan 0.95 olasılığına karşılık gelen nokta arandığında en yakın 0.9495 olasılığı ile
1.64 noktası ve 0.9505 olasılığı ile 1.65 noktası bulunur. 0.95 olasılığına karşılık gelen
noktayı bulmak için 1.64 ile 1.65 noktalarının ortalamasını almak gerekir. Buna göre,
dir. Aranılan nokta – idi. Buna göre,
olup,
dir. Yani, bu doğumevinde doğan bebeklerin %5’ inin ağırlığı 2.7065 kilonun altındadır.
Binom Dağılımına Normal Dağılım Yaklaşımı
rasgele değişkeni binom dağılımına sahip ise, bu değişkenini olasılık fonksiyonu,
63
biçiminde idi.
çok küçük iken deney sayısı yani
dağılımına yaklaştığı daha önce ifade edilmişti.
arttığında binom dağılımının poisson
çok küçük değilse ve
dağılımdan yararlanarak olasılıkları hesaplamak güçleşir.
de büyükse binom
iken binom olasılıkları
normal dağılıma yaklaştırılabilir. Bu dağılımın ortalaması ve varyansı, binom dağılımından
biçiminde hesaplanır. Bu durumda
olur. Bu nedenle
de büyükse binom dağılımına sahip
çok küçük değilse ve
değişkeninin belli bir değerden küçük ya da büyük
olması ve ya herhangi iki değer arasında yer alması olasılıkları standart normal dağılım
tablosu kullanılarak hesaplanabilir. Fakat binom dağılımı kesikli ve normal dağılım sürekli
olduğundan standart normale dönüştürme yapılırken düzeltme işlemi yapılması gerekir. Bu
düzeltme işlemi
değeri kullanılarak yapılır. Olasılık hesaplarında yapılacak bu süreklilik
düzeltmesi aşağıdaki tabloda verilmiştir.
İstenen Olasılık
Süreklilik Düzeltmesi
Bu durumda standartlaştırma işlemi,
olmak üzere,
şeklinde olacaktır.
Örnek 3.26. Alkol bağımlılığı ile ilgili yapılan araştırmalarda alkolik anne babadan doğan
çocuklarda alkol bağımlılığı oranının %80 olduğu saptanmıştır. 23-45 yaş grupları arasından
200 kişi seçilmiştir. Buna göre
64
a)
b)
c)
d)
olasılıklarını bulunuz.
Buna göre,
=
Olasılığının çözümü binom formülü kullanılarak,
eşitliğinden hesaplanabilir. Görüldüğü gibi bu işlem oldukça uzundur. Oysaki normal
dağılıma yaklaşım ile standart normal dağılım tablosu kullanılarak daha az işlemle sonuca
ulaşılabilir. Buna göre,
b)
65
c)
d)
Örnek 3.27 Bir ilaç hastaların %60’ ında etkili olmaktadır. 30 hasta bu ilaçla tedavi
edildiğinde iyileşmeyen hasta sayısının 6’ dan az olması olasılığı nedir?
Burada yine, binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı kullanılacak. Buna göre,
İyileşmeyen hasta sayısı
olmak üzere
olacaktır.
İstenen olasılık,
66
Related documents