Download XI - Inverse Functions

MATHEMATICS 201-009-50
Precalculus
Martin Huard
Fall 2007
XIX – Inverse Trigonometric Functions
1. Find the exact value for the inverse trigonometric function at the given number (Do not use a
calculator!)
a) arcsin1
c) arccos ( −1)
b) arcsin − 2 2
( )
e)
arccos ( − 12 )
h)
arcsin
k)
arccos
m) arcsec 2
n)
arccot 0
p)
arcsec 2
q)
arcsec − 2
s)
arcsec1
t)
arccsc ( −2 )
d)
arctan1
g)
arctan
j)
arcsin ( −21 )
3
3
f)
arctan 3
3
2
i)
arccos 0
3
2
l)
arctan 0
o)
arccsc − 2
r)
arccsc 2 3 3
u)
arccot − 3
c)
arcsin ( sin 76π )
(
)
2. Find the exact value of each expression.
a) sin ( arcsin 52 )
b) arccos ( cos −3π )
d)
arccos ( cos 127π )
e)
g)
sin ( arcsin 5)
h)
arctan ( tan 34π )
f)
(
(
)
)
tan ( arctan ( −1) )
arcsec ( sec π3 )
i)
arccsc ( csc π4 )
3. Find the exact value of each expression.
b) cos ( arctan 43 )
a) sin ( arccos 54 )
c)
tan ( arcsin 12
13 )
e)
cot ( arcsin 15 )
f)
csc ( arctan 3)
h)
tan ( arccsc 2 )
i)
cos ( arccot 34 )
k)
cot ( arcsec 32 )
l)
sin ( arccos −53 )
n)
cos ( arctan ( −2 ) )
o)
sec ( arcsin −43 )
4. Complete the identities
a) sin ( arccos x ) = ?
b)
cos ( arctan x ) = ?
c)
cot ( arccsc x ) = ?
sin ( arctan x ) = ?
e)
tan ( arccot x ) = ?
f)
tan ( arccos x ) = ?
d)
sec ( arccos 74 )
g)
sin ( arcsec 135 )
j)
sec arccsc 2
(
)
m) tan ( arcsin −1312 )
d)
5. Prove the following identities
a) arcsec x = arccos 1x if x ≥ 1
b) arccot x = arctan 1x
if x > 0
Math 009
XIX – Inverse Trigonometric Functions
ANSWERS
1. a)
π
2
g) π6
m) π3
s) 0
2. a) 52
g) ∃
3. a)
g)
m)
4.
3
5
b)
12
13
h)
n)
−12
5
3
5
d) π4
j) −6π
p) π4
3
5
j)
5
5
o)
2
k)
2 5
5
10
3
f)
l)
4
5
4 7
7
b) cos ( arctan x ) =
1
1+ x
2
c) cot ( arccsc x ) = x 2 − 1
1
1 − x2
f) tan ( arccos x ) =
x
x
b) Let arccot x = θ
Then cot θ = x
e) tan ( arccot x ) =
1
=x
cos θ
1
cos θ =
x
θ = arccos ( 1x )
1
=x
tan θ
1
tan θ =
x
θ = arctan ( 1x )
Thus arcsec x = arccos 1x
Fall 2007
f) −1
e) 2 6
i)
a) Let arcsec x = θ
Then secθ = x
−π
4
π
7
4
3
3
1 + x2
6
3π
4
f) π3
l) 0
r) π3
e)
d)
x
2π
3
2π
7
12
5
a) sin ( arccos x ) = 1 − x 2
e)
k)
q)
d)
c)
d) sin ( arctan x ) =
5.
c) π
i) π2
o) −4π
u) 56π
c) −6π
i) π4
b) −4π
h) π3
n) π2
t) −6π
b) π3
h) π3
Thus arccot x = arctan 1x
Martin Huard
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