Download Completed

3.5
Derivatives of Trigonometric Functions
Trigonometric Derivatives
Dx sin x = cos x
Dx tan x = sec2 x
Dx sec x = sec x tan x
Dx cos x = -sin x
Dx cot x = -csc2 x
Dx csc x = -csc x cot x
Jerk
If a body ¢ s position at time t is s HtL, the body ¢ s jerk at time t is
da
d3 s
j HtL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
dt
dt3
For problems 1 - 4, find the derivative.
1.
f HxL = 5 x csc x
f ¢ HxL = 5 csc x + H5 xL H-csc x cot xL
3.
1 - cos x
f HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
1 + cos x
H
1
+
cos x L H sin x L - H1 - cos x L H -sin x L
f ¢ HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
H1 + cos x L2
2.
f HxL = sec x tan x
4.
f ¢ HxL = Hsec x tan xL tan x + Hsec xL Hsec2 xL
f HxL = 3 x2 cot x - x3 sin x
f ¢ HxL = H6 xL cot x + H3 x2 L H-csc2 xL - H3 x2 L sin x - x3 cos x
p
5. Find the equation of the normal line to the graph of y = tan x at the point J ÄÄÄÄÄ , 1N.
4
p
-1
-1
p
y ¢ = sec 2 x
Æ
y ¢ J ÄÄÄÄÄ N = 2
so slope is ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
Æ
y - 1 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ J x - ÄÄÄÄÄ N
4
2
2
4
6.
7.
p p
Find the equation of the tangent line to the graph of y = x + sin x at the point J ÄÄÄÄÄ , ÄÄÄÄÄ + 1N.
2 2
p
p
p
¢
¢
y = 1 + cos x
Æ
y J ÄÄÄÄÄ N = 1
Æ
y - J ÄÄÄÄÄ + 1N = 1 Jx - ÄÄÄÄÄ N
2
2
2
-p p
For the function f HxL = 2 sec x - tan x, find where the tangent line is horizontal on the interval J ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ , ÄÄÄÄÄ N.
2
2
f ¢ HxL = 2 sec x tan x - sec2 x = sec x H2 tan x - sec xL
sec x = 0 or 2 tan x = sec x
2 sin x
1
1
p
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
Æ
sin x = ÄÄÄÄÄ
at x = ÄÄÄÄÄ ,
cos x
cos x
2
6
è!!!!
jij p 5 3 zyz
so at the point
jjj ÄÄÄÄÄ , ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ zzz, the tangent line is horizontal
j6
3 z{
k
A body is moving in simple harmonic motion with position s HtL = 3 + 3 cos t, where t is measured in seconds and
2p
s is measured in meters. Find the body¢ s velocity, speed, acceleration, and jerk at time t = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ seconds.
3
v HtL = -3 sin t
,
speed = » -3 sin t » ,
a HtL = -3 cost ,
j HtL = 3 sin t
è!!!!
è!!!!
è!!!!
3 m
-3 3 m
3 3 m
3 3
m
ij 2 p yz
ij 2 p yz
ij 2 p yz
z
j
z
z
j
j
speed = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
a ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
v ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
2
k 3 {
k 3 {
k 3 {
2 sec
2
sec
2
sec
2
sec3
8.
9. Find y ¢¢ if
y ¢ = - csc 2 x
y = cot x
so
y ≤ = - 2 csc x H - csc x cot x L