Download Solutions to Algebra Practice Set I

Fall 2005
Algebra Practice for Enriched Calculus
Solutions
Set I
Parentheses
Simplify the following expressions using two methods:
a) By doing the arithmetic within the parentheses first
b) By using the distributive property and multiplying first
1.
4 – (5 – 3) + 3(4 – 7) – 4(1 + 2)
a) = 4 – 2 + 3(-3) – 4(3) = 4 – 2 – 9 – 12 = -19
b) = 4 – 2 + 12 – 21 – 4 – 8 = -19
2.
-2(3 – 4) + 4(5 + 3) – 3(2 – 6)
a) = -2(-1) + 4(8) – 3(-4) = 2 + 32 + 12 = 46
b) = -6 + 8 + 20 + 12 – 6 + 18 = 46
3.
2 – (3 –
1
)
4
+ (2.4 - 3.2) – (1.2 – 2.3)
3
+ (-.8) – (-1.1) = -.45
4
1
b) = 2 – 3 +
+ 2.4 – 3.2 – 1.2 + 2.3 = -.45
4
a) = 2 – 2
€
Part 2:
€
€
1. x(y + z) – z(x + y) + 2y(x – z) – x(3x – 2z) = xy + xz – zx – zy + 2yx – 2yz – 3x2 + 2xz
= 3xy –3yz + 2xz – 3x2
2. (s – t) – (u – t) – (v – u) – (s – v) = s – t – u + t – v + u – s + v = 0
3. 2x(y – 3) – (x + xy) + 2y(x + 1) = 2xy – 6x – x – xy + 2yx + 2y = 3xy – 7x + 2y
4. xy(x + y2) – (2x2y2 – 2xy3) – 2y2(x2 – 2y + xy)
= x2y + xy3 – 2x2y2 + 2xy3 – 2y2x2 + 4y3 – 2xy3 = x2y + xy3 – 4x2y2 + 4y3
5. xy2 (x2 + y2) – 3x(2xy2 – 2xy3) + 2y2(x – xy2 – x2)
= x3y4 + xy4 – 6x2y2 + 6x2y3 + 2xy2 – 2xy4 – 2x2y2
= x3y4 – xy4 + 2xy2 – 8x2y2 + 6x2y3
Cancellation
Simplify the following fractions by factoring and identifying factors that the numerator and
denominator have in common.
1.
5 8
1 1 1
• = • =
16 10 2 2 4
2.
−1 −9 −1 −3 3
•
= • =
3 5
1 5
5
3.
−1 9
•
= −1 • 3 = 3
3 −5
1 −5 5
€
€
4.
€
5.
€
€
€
2
2
= 3π •
7
3
2π
=
9π
14 π
=
9
14
x s y u
• • • =1
y u s x
2.
(3x + 6) = 3( x + 2) = ( x + 2)
(6x + 42) 3(2x + 14) 2( x + 7)
3.
7x 3y + 2 21xy + 14 x
•
=
3y
x
3xy
€
= 7x (3y + 2) = 7(3y + 2)
3xy
 x + 2  1− y  x − xy + 2 − 2y
4. 
=
 •
x + xy
 1+ y   x 
5.
xy w 2 z
•
wz x 2 y 2
6.
xy
w
xy − 2x
w
€
€
1
2
Part 2:
€
€
= π •π = π
15 12 7 3 3 1 9
• • = • • =
28 5 8 4 1 2 8
3π
6. 7
2π
3
1.
€
2π 3π
•
3
4
=
w 2 xyz
=w
2 2
wx y z xy
= xy •
w
w
xy − 2x
=
xy
= y
x ( y − 2) y − 2
3y
€
€
7.
xy
( x − y)
x2 y3
•
y x
8.
xy
( x + y)
x2y
3
( x + y)
x2y2
x3y3 − x2y4
=
xy
yx
• 2 3
x−y x y
=
xy
( x + y)
•
( x + y) x 2 y
=
3
=
=
x2y2
= 1 2
2 2
2
x y ( xy − y ) ( xy − y )
xy ( x + y )( x + y )
xy ( x )( x + y )
2
= ( x + y)
x
2
Common Denominators
1.
1 4 1 1 1 3
4
3
7
+ = • + • = + =
3 4 3 4 4 3 12 12 12
2.
2 1 1 2 6 1 15 1 10 12 15 10
− + = • − • + • =
−
+
=7
5 2 3 5 6 2 15 3 10 30 30 30 30
3.
1 1 1 1
1 8 1 4 1 2 1
− + − = • − • + • −
2 4 8 16 2 8 4 4 8 2 16
4.
5 4 2 3 15 24 4 27 −32
− + − = −
+ − =
= − 16
6 3 9 2 18 18 18 18
18
9
5.
1 2
+
3 5
3
2
6.
1 2
−
4 3=
3 2
−
2 5
€
€
€
€
€
€
=
6  2 11 2 22
• = • =
15  3 15 3 45
3 8
−
12 12
15 4
−
10 10
= − 5 • 10 = − 5 • 5 = − 25
12 11
6 •11
66
1.
1 1 1 y 1 x
+ = • + •
x y
x y y x
2.
1 1
x
y
− =
−
y x
xy xy
3.
4 2 1 4 yz 2 xz 1 xy 4 yz − 2xz + xy
− + = • − • + • =
x y z x yz y xz z xy
xyz
4.
s t u
s s t st u tu s2 + st 2 + tu 2
+ + = • + • + • =
tu u s tu s u st s tu
stu
5.
1 x +1 x − 2
−
+
= yz − z( x + 1) + y ( x − 2) = yz − zx − z + yx − 2y
x
xy
xz
xyz
xyz
xyz
xyz
6.
1 1
−
x y
1 1
+
x y
€
€
€
€
15
+
8 4 2 1
− + −
16 16 16 16
Part 2:
€
€
=  5
=
= y−x•
xy
= y+x
xy
= x−y
xy
xy
y+x
= y−x
y+x
5
16
7.
1 x
−
y z
1 1
−
z x
8.
1  1 1 1  1 1 1  z − y  1  z − x  z − y − z + x x − y
=
=
 − −  − = 
− 
x  y z  y  x z  x  yz  y  xz 
xyz
xyz
9.
1 1
−
st w
1 2
−
tw s
€
€
€
10.
€
€ 12.
€
yz
2
xz
= xz − x y
x−z
xy − yz
= w − st •
stw
= x (z − xy )
y ( x − z)
stw
= w − st
s − 2tw s − 2tw
 3 4   2 2  2  3x − 4 x 2   2y 2 − 2y  2y 3x − 4 x 2 2y 2 − 2y
2
+ x −  − y −  = + 
+
−
 −
=
x
xy
xy
 xy y   x xy  x  xy   xy  xy
= 2y
11.
= z − xy •
2
+ 4 y + 3x − 4 x 2
xy
4 yz 2z
1
4 y 3 z 2xz 2
xy
4 y 3 z − 2xz 2 + xy
−
+
=
−
+
=
x 2 xy 2 xyz x 2 y 2 z x 2 y 2 z x 2 y 2 z
x 2 y 2z
1 x
−
x−y
x y
+
2y 2x
xyz
+
x
y
= y−x
xy
2
•
xy
x−y
+
2
2
2y + 2x
xyz
xyz y − x ) + ( x − y )(2y
= ( )(
xyz(2y + 2x )
2
2
2
2
+ 2x 2 )
Other Important Things You Need to Know
€
€
€
€
€
€
€
1.
(2x + 3y )( x − y + z) = 2x 2 − 2xy + 2xz + 3xy − 3y 2 + 3yz = 2x 2 + xy + 2xz − 3y 2 + 3yz
2.
(3x
2
3.
(y
− 4 y + 1)( x 2 + 6) = x 2 y 2 + 6y 2 − 4 x 2 y − 24 y + x 2 + 6
4.
( x − y )( x + y ) = x 2 + xy − yx − y 2 = x 2 − y 2
5.
(2x + y )(2x − y ) = 4 x 2 − 2xy + 2yx − y 2 = 4 x 2 − y 2
6.
(3x
7.
2
( x + y ) = ( x + y )( x + y ) = x 2 + xy + yx + y 2 = x 2 + 2xy + y 2
8.
2
(2x + 3y ) = 4 x 2 + 12xy + 9y 2
9.
(3x
2
2
2
− 4 x + 2)(2x 3 + 3) = 6x 5 + 9x 2 − 8x 4 −12x + 4 x 3 + 6 = 6x 5 − 8x 4 + 4 x 3 + 9x 2 −12x + 6
+ 2y 3 )( 3x 2 − 2y 3 ) = 9x 4 − 6x 2 y 3 + 6x 2 y 3 − 4 y 6 = 9x 4 − 4 y 6
+ 4 y)
2
= 9x
4
+ 24 x 2 y + 16y 2
€
10.
2
( x − y ) = ( x − y )( x − y ) = x 2 − xy − yx + y 2 = x 2 − 2xy + y 2
11.
2
(2x − 3y ) = 4 x 2 −12xy + 9y 2
12.
(3x
13.
€
x 2 + 2xy + y 2
x+y
= ( x + y) = x + y
€
x 2 − 2xy + y 2
14.
x−y
= ( x − y) = x − y
€
€
2
− 4 y)
2
= 9x
4
− 24 x 2 y + 16y 2
€
€
2
x+y
2
x−y