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同学们，今天就让我们一
起去体会生活中的数学给
我们带来的乐趣吧！
某商品现在的售价为每件60元，
每星期可卖出300件，市场调查反
映：每涨价1元，每星期少卖出10
件；每降价1元，每星期可多卖出
18件，已知商品的进价为每件40
元，如何定价才能使利润最大？
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是
自变量？哪些量随之发生了变化？
某商品现在的售价为每件60元，每星期
可卖出300件，市场调查反映：每涨价1
元，每星期少卖出10件；每降价1元，每
星期可多卖出18件，已知商品的进价为
每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商
品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。
涨价x元时则每星期少卖 10x件，实际卖出(300-10x) 件,销额
为 (60+x)(300-10x) 元，买进商品需付40(300-10x)元因此，
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
所得利润为
元
即
y  10 x  100 x  6000
2
(0≤X≤30)
y  10 x 2  100 x  6000
(0≤X≤30)
b
x
 5时，y最大值  10  52  100  5  6000  6250
2a
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y \元
6250
6000
0
5
30
x\元
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
部分，这条抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐
标的横坐标时，这个函
数有最大值。由公式可
以求出顶点的横坐标.
在降价的情况下，最大利润是多少？
请你参考（1）的过程得出答案。
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实
际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买
进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
做一做
y  60  x 300  18 x   40300  18 x 
 18 x  60 x  6000
2
(0≤x≤20)
2
b
5
5
5
当x  
 时，y最大  18     60   6000  6050
2a 3
3
3
1
答：定价为 58 元时，利润最大，最大利润为6050元
3
由(1)(2)的讨论及现在的销售
情况,你知道应该如何定价能
使利润最大了吗?
（1）列出二次函数的解析式，并根
据自变量的实际意义，确定自变量的
取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用
公式法或通过配方求出二次函数的最
大值或最小值。
1.在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为
指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查
统计，得到如下数据：
销售价 x（元/千克）
…
25
24
23
22
…
销售量 y（千克）
…
2000
2500
3000
3500
…
（1）在如图的直角坐标系内，作出各组
有序数对（x，y）所对应的点．连接各
点并观察所得的图形，判断y与x之间的
函数关系，并求出y与x之间的函
数关系式；
（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销
售利润P（元）与销售价x (元/千克)之间
的函数关系式，并求出当x取何值时，P
的值最大？
解：（1）正确描点、连线．由图象可知，y是x的一次
函数．设 y＝kx＋b ，
∵点（25，2000），（24，2500）在图象上，
2000  25k  b，

2500  24k  b．
解之得：
 k  500，

b  14500．
∴ y ＝－500x＋14500
（2）P＝（x－13）·y＝（x－13）·（－500 x＋14500）
＝－500 x 2＋21000 x－188500＝－500（x－21）2＋
32000．
∴P与x的函数关系式为P＝－500 x 2＋21000 x－
188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润．
(03河北） 2：某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种
市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批
量生产。已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：
当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加
10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x元，年销售量为y
万件，年获利（年获利＝年销售额－生产成本－投资）z万元。
（1）试写出y与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）
（2）试写出z与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）
（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，
销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？
（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，
第二年年获利不低于1130万元。请你借助函数的大致图象说明，
第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？
解：（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量
1
减少 10 (x-100)万件.
1
1
∴y=20- 10(x-100) = - 10x+30.
1
即y与x之间的函数关系式是: y = - 10 x+30.
1
1
（2）由题意，得：z = (30- 10)(x-40)-500-1500 = - 10
x2+34x-3200.
1 2
即z与x之间的函数关系式是:
1 z =2 - 10 x +34x-3200.
(3) ∵当x取160时，z= - 10
×160 +34×160-3200 = - 320.
1 2
∴ - 320 = - x +34x-3200.
10
2
整理，得x -340+28800=0.
由根与系数的关系，得 160+x=340. ∴x=180.
即同样的年获利，销售单价还可以定为180元.
1
当x=160时，y= - ×160+30=14;
10
1
当x=180时，y= -10 ×180+30=12.
即相应的年销售量分别为14万件和12万件.
1
1 2
（4）∵z = - 10x +34x-3200= - 10
(x-170)2-310.
∴当x=170时，z取最大值，最大值为-310.
也就是说：当销售单价定为170元时，年获利最大，并
且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资.
第二年的销售单价定为x元时，则年获利为：
1
z = (30x)(x-40)-310
1 10
= - 10 x2+34x-1510.
z(万元)
1380
1130
1 2
当z =1130时，即1130 = - 10x +34x -1510.
整理，得 x2-340x+26400=0.
解得 x1=120, x2=220.
1 2
函数z = - 10 x +34x-1510的图象大致如图所示：由图
象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130.
所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于
220元的范围内.
O
120 170 220
x(元
例：某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。经过一段时
间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部
租出。在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种
设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护
费、管理费等）20元。设每套设备的月租金为x（元），租赁公
司出租该型号设备的月收益（收益＝租金收入－支出费用）为y
（元）。
（1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出
租设备（套）的支出费
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为300元和350元式，租赁公司的月收益分别
是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；
b 2 4ac  b 2
（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成 y  a( x  2a )  4a
的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备
的月收益最大？最大月收益是多少？
x  270
10
解：（1）未租出的设备为
套，所有未出租设备支出的费
用为（2x－540）元；
（2） y  (40  x  270 ) x  (2 x  540)   1 x2  65x  540
10
10
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时
租出设备37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为
11040元，此时租出设备32套。因为出租37套和32套设备获得同
样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果
考虑市场占有率，应该选择37套；
（4）y   1 x2  65x  540   1 ( x  325)2  11102.5
10
10
∴ 当x＝325时，y有最大值11102.5。
但是当月租金为325元时，出租设备的套数为34. 5套，而34.5不
是整数，故出租设备应为34（套）或35（套）。即当月租金为
330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公
司的月收益最大，最大月收益均为11100元。
例：（07河北）某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为
每箱40元，生产厂家要求每箱的售价在40元~70元之间．市
场调查发现：若每箱50元销售，平均每天可销售90箱，价
格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均
每天少销售3箱．
（1）写出平均每天的销售量y（箱）与每箱售价x（元）之
间的函数关系式（注明自变量x的取值范围）；
（2）求出超市平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每
箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系式（每箱的利润=
售价－进价）；
b 2 4ac  b 2
（3）请把（2）中所求出的二次函数配方成 y  a( x  2a )  4a
的形式，并指出当x=40、70时，W的值．
（4）在坐标系中画出（2）中二次函数的图象，请你观察图
象说明：当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大
利润为多少？
解：（1）y=240－3x；（2）W=－3x2+360x－9600
（40≤x≤70）；（3）W=－3（x－60）2+ 1200．当
x =40时，W=0；当x =70时，W=900．（4）图象
略．由图象可知：当售价为60元时，最大销售利润
为1 200元．
y
（4，4）
1
a  
9
20
9
0
1
2
 y    x  4  4 (0≤x≤8)
9
4
8
x
如图，建立平面 直角坐标系，
点（4，4）是图中这段抛物
线的顶点，因此可设这段抛
物线对应的函数为：
y  ax  4  4
2
(0≤x≤8)
 20 
 抛物线经过点 0， 
 9 
20
2

 a0  4   4
9
20
当x  8时，y 
9
∵篮圈中心距离地面3米
∴此球不能投中
若假设出手的角度和力度都不变,
则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点
（2）向前平移一点
探究
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度
为多少时能将篮球投入篮圈?
y
6
（4，4）
4
（8，3）
 20 
 8, 
 9 
 20 
 0, 
 9 2
0
1
2
3
4
5
5
6
7
8
9
10
x
-2
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝
着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投
入篮圈？
y
6
（4，4） （5，4）
4
(７，３）
（8，3）
●
 20 
 0, 
 9 
2
0
1
2
3
4
55
6
7
8
9
10
X
-2
例：某跳水运动员进行10米跳台训练时，身体（看成一点）在空
中的运动路线是一条抛物线如图所示（图中标出的数据为已知条
件），在跳某个 规范动作时，通常情况下，该运动员在空中的最
2
高处距水面10 3 m,入水处距池边的距离为4 m，运动员在距水面
高度为5 m以前，必须完成规范的翻腾动作，并调整好入水姿势，
y
否则就会出现失误。
3m
A
（1）求这条抛物线对应
x
的二次函数解析式
（2)在某次试跳时，测得运动员
在空中的运动路线是（1）中的抛物线且
10m
运动员在空中调整好入水姿势时，距池边
2
的水平距离为3 m，问此次跳水会不会失误，
5
通过计算说明理由。
跳
台
支
柱
1m
B
池边
水面
解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水
点位B，抛物线的关系式为：y=ax2+bx+c
由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0），（2，
2
-10）且顶点的纵坐标为
3
25
c=0
a=- 6
∴
解得：
4ac-b2
2
10
= 3
b= 3
4a
4a+2b+c=-10
c=0
a=- 3
2
∵抛物线对称轴在 y轴右
或
b
侧，∴- 2a＞0
b=-2
又∵抛物线开口向下，∴a＜0,b＞0
c=0
∴a=- 25 b= 10 c=0
6
3
25 2
∴抛物线关系式为y=- 6 x + 10 x
3
3 (2)当运动员在空中距池边的水平距离为3 3
m,即3
5 16
5
8
25
8
2
2= 5 时，y=() ×(
) + 10 × 8 =5
6
5
3
3
14
16
∴此时运动员距水面的高为10=
3
3
因此此次跳水会出现失误
例： （05河北）某食品零售店为仪器厂代销一种面
包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，
当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在
此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店
每天就会少卖出20个。考虑了所有因素后该零售店
每个面包的成本是5角。
设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种
面包所获得的利润为y（角）。
⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出
的面包个数；
⑵求y与x之间的函数关系式；
⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面
包获得的利润最大？最大利润为多少？
解：⑴每个面包的利润为(x－5)角，卖出的面包个数为
（300－20x）（或[160－（x－7）×20]）
（2） y  (300  20 x)( x  5)  20 x 2  400 x  1500
2
y


20
x
 400 x  1500
即：
（3） y  20 x  400 x  1500  20( x  10)  500
2
2
∴当x=10时，y的最大值为500。
∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的
利润最大，最大利润为500角
例： （06河北）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这
里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，
未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售
量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进
行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售
量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料
共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），
该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认
为对吗？请说明理由．
260  240
解：（1）45  10  7.5=60（吨）．
（2） y  ( x  100)(45  260  x  7.5)
10
3
y   x 2  315 x  24000
4
化简得：
（3） y   3 x 2  315x  24000   3 ( x  210)2  9075
4
4
利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨21元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
3
260  x


( x  160)2  19200
而对于月销售额 W  x(45  10  7.5)
4
来说，当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月
销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为
17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜
18000，∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
例：图14－1是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中
的数据：
（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图14－2所示的
坐标系中画出y关于x的函数图象；
（2）① 填写下表：
② 根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y
的二次函数表达式：
．
（3）当水面宽度为36 m时，一艘吃水深度（船底部到水
面的距离）为1.8 m的货船能否在这个河段安全通过？为什
么？
y/ m
14
12
10
8
6
4
2
O 10 20 30 40 50 60 x /m
图14—2
解：（1）图象如下图所示.
y/m
14
（2）
12
x
5
10
20
30
40
50
10
8
x2
y
6
200
200
200
200
200
200
4
2
1 2
y
x .
200
O
10
20
30
40
50
60
x/m
（3）当水面宽度为36m时，相应的x=18，则
1
y
200
182  1.62,
此时该河段的最大水深为1.62m 因为货船吃水深
为1.8m，而1.62<1.8,
所以当水面宽度为36m时，该货船不能通过这个
河段.
例（08河北）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，
为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第
一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满
1 2
y

x  5 x  90 ，投入市场后当年能全部售出，且在
足关系式
10
甲、乙两地每吨的售价P甲、P乙（万元）均与x满足一次函数关
系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）
1
p


x  14 ，请你
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，甲
20
用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润 w甲
（万元）
与x之间的函数关系式；
1
p


xn
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时， 乙
（n为常
10
数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一
年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你
通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的
年利润？
2
参考公式：抛物线 y  ax2  bx  c(a  0) 的顶点坐标是．  b ，4ac  b 
 2a
4a

解：（1）甲地当年的年销售额为
w甲  
3 2
x  9 x  90
20
 1 2


x

14
x


 20

万元；
（2）在乙地区生产并销售时，
年利润． w   101 x  nx   101 x  5x  90    15 x  (n  5) x  90


由 4    1   (90)  (n  5) ，解得 n  15或． 5
2
2
2
乙


 5
 1
4  
 5
2
 35
经检验， n  5 不合题意，舍去， n  15 ．
（3）在乙地区生产并销售时，年利润 w乙   1 x 2  10 x  90 ，
5
x

18
w

25.2
将
代入上式，得 乙
（万元）；将 x  18 代
3 2
w


入 甲 20 x  9 x  90 ，
得w甲  23.4
（万元）．
w乙  w甲 ，应选乙地．
用抛物线的知识解决运动场上或者生
活中的一些实际问题的一般步骤：
建立直角坐标系
二次函数
问题求解
找出实际问题的答案