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Projeto de Pesquisa
Programa de Iniciação Científica
Física Aplicada e Modelagem Matemática:
Uma Abordagem Multidisciplinar no Ensino de Física
para Engenheiros
Centro Universitário Fundação Santo André
Aluno: Evandro de Souza Pereira RA: 605660 - FAENG
Orientador: Prof. Dr. Maurício Bernardino Magro
Projeto de Pesquisa
Programa de Iniciação Científica
Física Aplicada e Modelagem Matemática:
Uma Abordagem Multidisciplinar no Ensino de Física para Engenheiros
Resumo
Pretendemos desenvolver um estudo sobre métodos numéricos e modelagem de
sistemas físicos ligados a conceitos fundamentais de tópicos da Física Clássica.
Realizaremos um estudo minucioso dos assuntos básicos para um curso de Engenharia,
como Física, Cálculo e Geometria Analítica e buscaremos identificar as principais
dificuldades e interesses encontrados por alunos desses cursos. A partir destas observações,
buscaremos desenvolver mecanismos de aprendizado e novas ferramentas para o ensino
destas disciplinas tendo em vista a realidade do aluno de Engenharia atual.
1. INTRODUÇÃO
As últimas décadas testemunharam a modernização tecnológica da sociedade com
características aparentemente contraditórias: (i) a falta de investimentos em ciência e
tecnologia e (ii) política industrial burocratizante [Lezana etal]. O mercado brasileiro
começou a abertura para a incorporação de elementos externos nos anos 90, com uma
indústria marcada pela falta de preparo para a competição mundial. Desse modo, é
necessário capacitar os profissionais para vencerem este período de transição entre um
mundo de alta tecnologia e um país em desenvolvimento. É nesse contexto que se faz
necessário repensar as atividades ligadas aos cursos de engenharia e de física. Portanto, é
fundamental que o profissional tenha e desenvolva alguns atributos necessários para dar
respostas rápidas e eficientes no decorrer de sua atuação profissional, dentre os quais
podemos citar [Lezana etal]:
a) Conhecimento científico-tecnológico para vencer desafios e a rápida evolução do
conhecimento;
b) Conhecimento de informática como instrumento do exercício da engenharia;
c) Capacidade para a solução de problemas.
Um dos desafios da Física e Engenharia, a nosso ver, é o de modelar um problema de
forma precisa. Este trabalho é frequente no estudo da Física e Matemática e de fundamental
importância para o profissional quanto à aplicação da matemática a problemas práticos,
assim como a discussão dos limites de modelos criados ou já estabelecidos. Ausente no
ensino tradicional, a modelagem de problemas [García-Raffi, Sánchez-Pérez], é uma
ferramenta indispensável na formação do profissional e cientista de hoje. As possibilidades
que o computador nos oferece justificam um enfoque direcionado à aplicação e ampliação
de conhecimentos matemáticos que ultrapassam os programas das disciplinas tradicionais.
O uso generalizado da informática faz com que o aluno possa entender e manipular
conceitos que estão ao seu alcance, embora requeira muitas vezes uma capacidade de
cálculo mais ampla, reservada a cursos especializados.
A proposta deste trabalho é explorar problemas de interesse à comunidade local,
utilizando conceitos básicos de Física e Matemática, proporcionando ao aluno autonomia
necessária para a sua solução, utilizando, quando necessário, técnicas de programação. Para
isto é necessário interligar conceitos físicos e técnicas matemáticas, onde aqueles são
fundamentais, criando condições para a fixação de tais conteúdos e introduzindo o aluno no
universo científico. Desse modo, a utilização da modelagem em caráter interdisciplinar
pretende atingir três objetivos fundamentais:
a) Introdução à técnicas de modelagem;
b) Melhoria da aquisição de conhecimento em Física e Matemática;
c) Introdução às técnicas experimentais de aquisição de dados.
Para tal dividiremos o trabalho em dois estágios:
I. Introduzir e revisar noções de cálculo diferencial e integral assim como métodos
numéricos e experimentais e a utilização de programa algébrico o Matlab®.
II.
Buscar solução para problemas específicos que envolvem conceitos de
difícil compreensão, como são, por exemplo, os assuntos relacionados ao
eletromagnetismo. O método de solução se ajusta aos conteúdos vistos nas disciplinas do
Ciclo Básico, estimulando o aluno a direcionar seus esforços a temas de seu interesse.
2) OBJETIVOS
Queremos desenvolver atividades extracurriculares para serem desenvolvidas pelos
alunos de um curso de Engenharia, proporcionando-lhes uma forma alternativa, mais
eficiente e motivadora para o aprendizado dos conceitos fundamentais de Física e
Matemática.
Durante o projeto, pretendemos desenvolver problemas específicos com enfoque
nos conceitos básicos de eletromagnetismo para futura apresentação a alunos regulares do
curso de Engenharia da FAENG para que se possa obter um comparativo entre a
aprendizagem através do estudo tradicional e o método de problemas propostos. Nestes
projetos, desde o ponto de vista estritamente matemático, pretende-se que o aluno
familiarize-se com os seguintes conceitos:
 Métodos de modelagem matemática que envolva conceitos de cálculo e geometria
analítica;
 Resolução de sistema de equações não-lineares;
 Métodos numéricos para encontrar soluções;
 Estudo da dependência da modelagem com respeito a alguns parâmetros
introduzidos nela;
 Trabalho em equipe.
A estrutura do trabalho está planejada de forma que se possa captar a natureza do
problema, e tentar, em primeiro lugar, escolher um conjunto de equações simples que
podem conduzir à descrição do sistema dinâmico, e em segundo lugar, que se utilizem
ferramentas matemáticas necessárias para a resolução do mesmo. O objetivo final é, não
somente compreender o manejo e alcance das fórmulas matemáticas, mas também
desenvolver uma certa intuição com respeito a que situações reais podem ser modeladas
com uma precisão aceitável utilizando as mesmas.
O primeiro passo, portanto, consiste na compreensão dos problemas, cujos
enunciados são descritos na seção 3.
3) ESTUDO DE CASO
As atividades citadas nesta seção estão em inglês, uma vez que acreditamos que a
interdisciplinaridade é um estímulo importante no aprendizado do aluno de engenharia.
Dessa forma, pretendemos incluir nos estudos não somente as disciplinas básicas da área de
exatas, como também o desenvolvimento da linguagem como ferramenta importante no
desenvolvimento do aluno.
- 1ª Atividade:
The Coulomb´s Law
Coulomb´s Law. It is well know that two electric charged bodies interact at
distance through attraction or repulsion forces. If two electric charged bodies with charges

q1 and q2, separated by a distance r , are taken to be very small the interaction force
between them are said to obey the Coulomb´s Law

q
1 q
1
2
ˆ
F
r
2
4

o r
1

8
,
99

10
Nm
/
C
where 4
is the Coulomb´s Constant, determined experimentally.

o
In situations with several charges interacting with each other, the superposition
principle says that the resulting interaction among a given charge qo and the others has to be
summed up over all contributions as follows
9
2
2
n 

FR Fi
i1

where the Fi are the forces that each other charge makes over qo.
Equilibrium. In situations with several charges interacting, an interesting issue is
finding
the equilibrium state, i.e., the correct position of all electric charges that leads to

FR  0 on a specific charge q. When that happens it is said that q is in a equilibrium state,
since with no resulting force, there is no acceleration applied on q.
The exercise. Consider three small electric charges with same magnitude q which
are fixed in the vertices of a triangle as the figure shows. A forth small charge Q is free to
move over the positive x-axis under the influence of the forces provoked by the other three
fixed charges.
1) Based on the Coulomb´s Law, find algebraic expressions for the forces of each
of the charges q over Q.
2) Based on the Superposition Principle, find an algebraic expression for the
resulting force that all three fixed charged make over Q.
3) Using the Matlab program, that calculates the resulting force over Q as a
function of s.
4) Draw a graph of Fs.
+q
y

a
-q


s
3a / 2
x
+Q
a/2
a
-
r
a/2
 +q
a
2 atividade:
Electric Fields
Electric field. One way to understand the interaction among charged particles is
using the idea of electric fields. Electric fields may be understood as a signal emitted to all
directions by a particle of electric charge q which carries the information of the intensity

E
and localization of q. Consider
a
small
electric
charge
of
intensity
q,
the
electric
field

measured at a distance r of q is taken to be

1 q
ˆ
E
r
2
4

or
1

8
,
99

10
Nm
/
C
where 4
is the Coulomb´s Constant, determined experimentally.

o
In situations with several charges coexisting in a region, the superposition principle
says that the resulting electric field due to all charges qi has to be summed up over all
contributions as follows
9
2
2
n 

ER Ei
i1

where the E i are the electric fields of each charge qi.
Electric dipole. An electric dipole is formed by two small charges of same intensity
q that differs
only by the signal (one is positive and the other is negative) separated by a

distance d , as shown in the figure below.

d
-q 
 +q
The electric field of such distribution of charges at a distance z along the axial axis is given
by

E
with


p  qd

p
3 for
2
oz
z  d
(1)
being the electric dipole momentum.
Polar molecules. One important application of electric dipoles is polar molecules.
A diatomic ionic molecule can be modeled as the previous figure where –q is the negative
ion and +q being the positive ion respectively.
+e

a
-2e

o
104.5
z
a
 +e
with a = 0.0315 nm.
The exercise. The most important polar molecule for life is water (H2O) where an
negative oxygen atom, with charge -2e, connects with two positive hydrogen atoms, with
charge +e, as the previous figure.
1) Find in the literature the experimental value of the electric dipole momentum of
water. Calculate it assuming that the total electric dipole of water is a vector sum
of two electric dipole, each one in the axis connecting the O and the H. Show
mathematically the expression of Eq. (1).
2) Write a computer program that evaluates, using Matlab, the resulting electric
field of the water molecule over the z-axis.
3) Draw a graph of Ez.
4) Compare the expression obtained in item 5) with the expression of Eq. (1).
4) MATERIAIS E MÉTODOS
Como método de trabalho, utilizamos seminários apresentados de forma periódica,
supervisionados pelo orientador do projeto baseado na literatura disponível e em meios
eletrônicos como a Internet. Utilizaremos, a princípio, como bibliografia básica, os livros
Curso de Física Básica, Vol. 2 e 3, de H. Moysés Nussenzveig e Um Curso de Cálculo,
Vol. 1 e 2, de H. L. Guidorizzi, Halliday Resnick Walker, Fundamentos de Física, Vol.3
Eletromagnetismo, Ed.LTC Ltda.
5) RESULTADOS E DISCUSSÃO
Todos os resultados encontrados ao longo do desenvolvimento desses projetos estão
descritos abaixo:
1ª. Atividade:
1. Expressões algébricas para as forças de cada uma das cargas q sobre Q:
eq.01
eq.02
eq.03
2. Expressão algébrica baseado no principio da superposição:
eq.04
3. Programa Matlab da força resultante em função da distancia vide apêndice A.
4. Segue abaixo o gráfico da função (Fs) :
Fig. 1: Gráfico da eq.04 que representa da Força Resultante em função da
distância s.
1.
3.
2.
4.
Fig. 2: Gráfico da eq.04 que representa da força resultante em função da distância s em
diferentes escalas (1,2 e 3) e o máximo da função (4).
- Discussão dos resultados:
Na fig. 1 foi possível analisar o ponto vermelho no gráfico, onde, demonstra o ponto
de equilíbrio das cargas q, pois, se trata de uma questão interessante que foi encontrar o
estado de equilíbrio, ou seja, a posição correta de todas as cargas elétricas que leva a em
uma taxa específica q. Quando isso acontece, é dito que q está num estado de equilíbrio,
uma vez que não tem força resultante, não há nenhuma aceleração aplicada em q.
Na fig.2 (1,2 e 3) foi possível analisar o mesmo ponto no gráfico com o mesmo
resultado em diferentes escalas, também na fig.2 (4) é demonstrando o máximo da função,
ou seja, foi determinada a raiz vide apêndice B definindo o ponto onde o gráfico intercepta
o eixo das abscissas “distancia (s)” no qual o vértice é máximo absoluto da função, que é
usado em bastante aplicação na vida cotidiana e no estudo de outras ciências.
2ª Atividade.
1.Expressões matemáticas das equações do campo elétrico da água :

E
-q 

p
3 for ( z  d )
2
oz

d
 +q
2
2
2
  2e  a  z  b  2 zb 


E=
4πεo  z 2  az cos 52, 252 


,

E=

p
2πεo z 3
eq.6
eq.5
2. Programa Matlab que avalia o campo elétrico resultante da molécula de água ao longo do
eixo z, vide apêndice B.
3. Segue abaixo o gráfico da função Ez:
Fig. 03: Gráfico da eq.05 que representa o campo elétrico em função da distancia z.
Fig. 04: Gráfico da eq.06 que representa o campo elétrico em função da distancia z.
Fig. 05: Gráfico eq.5 e eq.06 que representa o campo elétrico em função da distancia z.
Fig. 06: Gráfico eq.05 e eq.06 que representa o campo elétrico em função da distancia z.
-Discussão dos resultados:
Na fig. 04 foi possível analisar a curva da função da eq.05 onde campo elétrico total
de água é uma soma vetorial de dois dipolos elétrico, cada um no eixo que liga o Oxigênio
e o Hidrogênio, assim foi possível demonstrar no gráfico o campo elétrico resultante da
molécula de água ao longo do eixo z (distancia).
Na fig. 05 foi possível analisar a curva da função da eq.06 do dipolo elétrico da
água de tal distribuição de cargas a uma distância z ao longo do eixo axial que é dada pela
eq.06.
Na fig. 06 foi possível comparar a eq.05 e eq.06 onde podemos ter uma boa
aproximação entre as equações, pois as duas equações tem o mesmo comportamento no
gráfico quando a distancia é maior, ou seja, na esquala maior que nm(1x109 ) .
6) CONCLUSÃO E ATIVIDADES FUTURAS
Acreditamos que o desenvolvimento desses projetos será de grande utilidade para a
aprendizagem do ensino de Física para Engenheiros, pois, os mesmos abrangem uma gama
de disciplinas envolvidas. Os próximos passos desse projeto estão descritos abaixo:
I- Desenvolvimento de novos projetos: (3 Campo Magnético, 4 Potencial Elétrico, 5
Capacitores e Circuitos Elétricos, 6 Campo Elétrico), maiores detalhes vide apêndice D;
II- Aplicação prática desses projetos em uma sala real de Engenharia;
No tópico II esta em analise junto ao CNQP e FAPESP para o financiamento do
mesmo, onde o projeto que esta sendo elaborado já tem uma bolsa fornecida pelo CNPQ.
7) APÊNDICE
Apêndice A : Programa Matlab da força resultante em função da distancia.
% 1. Forca resultante (Fs)em 3 escalas e máximo da função(Gs).
K=9e9;
d=1e-2;
Q=1e-9;
H=1e-9;
F=@(s)-4*K*Q*H*[1/(3*(d^2) + 4*s*sqrt(3)*d + 4*(s^2)) (2*cos(atan(d/2/s))/(4*s^2+d^2))];
subplot(2,2,1) , fplot(F,[0 0.001]);
grid on;
title('Drawing graph of resultant force [Fr]');
xlabel('Distance (m)');
ylabel('Resultant Force [N]');
subplot(2,2,2), fplot(F,[0.01 0.000001]);
grid on;
title('Drawing graph of resultant force (Fr)');
xlabel('Distance (m)');
ylabel('Resultant Force [N]');
subplot(2,2,3), fplot(F,[0.1 0.0000000001]);
grid on;
title('Drawing graph of resultant force (Fr)');
xlabel('Distance (m)');
ylabel('Resultant Force [N]');
G=@(s)-(4*d*sqrt(3)+8*s)/(3*d^2+4*s*sqrt(3)*d+4*s^2)^2 +
16*s/(4*s^2+d^2)^2*cos(atan(d/2/s)) - 2/(4*s^2+d^2) * (d/2/s^2 *
sin(atan(d/2/s))/ (1+(d/2/s)^2));
subplot(2,2,4), fplot(G,[0.000001 0.01]);
grid on;
title('Max of the function ');
xlabel('ds');
ylabel('df');
Apêndice B- Calculo do Ponto Máximo absoluto da Função
Apêndice C : Programa Matlab que avalia o campo elétrico resultante da molécula de água
ao longo do eixo z.
% 2. Campo elétrico em 2 escalas e duas funções.
K=9e9;
a=0.0315e-9;
P=6.17e-30;
qe=-1.6e-19;
c=cos(52.25*pi/180);
E = @(z) 2.*P*K/z^3;
L = abs( (z) ((K*2*qe)*(-1./z^2+((z-a*c)/sqrt(z^2+a^2-2*a*z*c))/(z^2+a^22*a*z*c))))
subplot(2,2,1);fplot(E,[0 1]);
set(gca,'yscale','log');
grid on;
title('Comparing the graphs of eq. (a) and (b)');
xlabel('Distance (m)');
ylabel(' [N/C]');
subplot(2,2,2);fplot(L,[0 1]);
set(gca,'yscale','log');
grid on;
title('Comparing the graphs of eq. (a) and (b)');
xlabel('Distance (m)');
ylabel(' [N/C]');
fh = @field;
subplot(2,2,1);fplot(fh,[0 1]);
set(gca,'yscale','log');
grid on;
title('Comparing the graphs of eq. (a) and (b)');
xlabel('Distance (m)');
ylabel(' [N/C]');
Apêndice D: Projetos futuros:
Atividade 3:
Magnetic Fields
Magnetic field. The movimentation of electrons in a conductor, resulting in a
electric current
i
dq
dt

provokes in the surrounds of the conductor a magnetic induction field B . In this sense, the
electric current in a conductor works the same way as a magnet. The intensity of the


magnetic induction field due to a current i in a conductor of length dl at a distance r of
the conductor can be determined by the Biot-Savart´s Law

  o i dl  rˆ
dB 
4 r 2
and, in a more elegant way, by the Ampère´s Law
 
B
  dl   o i
with  o  4  10 7 Tm/A being the susceptibility magnetic constant, determined
experimentally.
In situations with several electric currents coexisting in a region, the superposition
principle says that the resulting magnetic induction field due to all currents ik has to be
summed up over all contributions as follows
n 

B R   Bk
k 1

where the Bk are the fields of each current ik.
Magnetic radiation. In regions where the intensity of electric currents are large
(like in transmission lines), one of the more important issues is the magnetic radiation
emitted by the currents that can affect life forms and other electronic devices at the vicinity.
To stay only with the medical problems itself, it is said the exposition of men under strong
magnetic fields over a large amount of time can cause cancer among other diseases. In
some countries there exists standards about the maximum intensity of magnetic radiation
that can be emitted by a transmission line in order to minimize such effects on the people
who lives near it.
The exercise. Consider a simple model of transmission line consisting of four
conducting wires each one transmitting a current I, as the figure below shows.
1) Using the Biot-Savart´s Law, show that the expression for the magnetic
induction field of a very long wire (make the assumption that the wire is infinite)
transmitting a current I at a distance d of the wire in given by
B
oi
2d
2) Show the above expression using Ampère´s Law.
3) Write a computer program that evaluates the resulting magnetic induction field
of the transmission line in all space.
4) Draw a graph of Bh, were h is the height from the ground.
5)
In the Swiss´ Law, the maximum intensity allowed for the magnetic radiation at
h = 1.5m (measured from the ground) is B < 1T. Using your program, evaluate the
maximum value for I at the transmission line. Consider that the transmission line is
17m height.
I
I
I
 I
17 m
h
Atividade 4:
Electric Potential
Electric potential. The interaction among electric charges via electric fields can be
understood as a exchange of energy among the charges. When a electric charge makes a
force over another one, it changes the amount of energy of it, either altering the Kinetic
Energy of it by changing its velocity or its Potential Energy. In general the amount of
energy transferred depends on the electric charge involved in the process. To simplify this
it is useful to calculate the transferred energy density, that is called Electric Potential V. If
one assumes that V = 0 in the infinite, we can evaluate the Electric Potential at a distance

r of a small charge q as
V 
where
1
1
q
4 o r
 8,99  10 9 Nm 2 / C 2 is the Coulomb´s Constant, determined experimentally.
4o
In situations with several charges coexisting in a region, the superposition principle
says that the resulting electric potential due to all charges qi has to be summed up over all
contributions as follows
n
V R   Vi
i 1
where the Vi are the electric potentials of each charge qi.
Capacitors. It is a well know phenomena that when a difference of electric
potential V is applied to two conductors separated by a distance d they can accumulate
electric charge q given by its Capacitancy
C
q
V
Capacitors have been very useful in many practical applications in electric and electronic
devices, such as batteries, medical defibrillators, no-breaks, etc.
The exercise. The Geiger counter is a nuclear radiation detector which consists
essentially in a hollow metallic cylinder, closed (the cathode) with a internal radius ra and a
concentric cylindrical wire (the anode) of radius rb, as the figure below. The linear density
of charge of them are - and + respectively. The space between them is occupied by a gas.
When a high energy elementary particle crosses this region, it can ionize the gas producing
a strong electric field. The electric current pulse between the cylinder and the wire is
counted by an external circuit giving the amount of radiation emitted in the surrounds.
1) Show that the magnitude of the difference of electric potential between the
cylinder and the wire is
r 
V  2k e  ln  a 
 rb 
2) Show that the magnitude of the difference of electric potential between the
cylinder and the wire is
r 
V  2k e  ln  a 
 rb 
3) Show that the magnitude the electric field in the space between the cathode and
the anode is given by
E
V  1 
 
ln ra rb   r 
4) These results can also be in an electric precipitator. This device for air
contamination control consists in a cylindric duct with a long wire in its center
in a negative high voltage, as the figure below. The electric discharge ionizes the
air around the wire to produce free electrons besides negative and positive
molecular ions. The electrons and negative ions are accelerated to outside the
duct. As the polluted air goes through the duct, the solid particles become
charged because the collisions with the ions, and are swept away from the air by
the horizontal electric field generated between the duct and the wire. In a
particular device, the electric potential difference of V = 50 kV produces an
electric field of magnitude E = 5,5 MV/m in the central wire surface. The
external wall of the cylinder has a radius ra = 0,850 m. Determine the radius rb of
the central wire. (You may need to solve a transcendental equation. Develop a
computer program to solve it).
5) How much is the magnitude of the electric field on the external wall of the
cylinder?
6) Draw graphs of Er and Vr.
Atividade 5:
Capacitors and Electric Circuits
Capacitors. It is a well know phenomena that when a difference of electric
potential V is applied to two conductors separated by a distance d they can accumulate
electric charge q given by its Capacitance
C
q
V
Capacitors have been very useful in many practical applications in electric and electronic
devices, such as batteries, medical defibrillators, no-breaks, etc.
Electric circuits. A battery induces in a circuit an electric potential difference V
that induces an electric current of intensity I. If the circuit has a electrical resistance R, the
Ohm´s Law says that the relation between I and V is given by
V  RI
In a circuit, if a capacitor is charged with a electric potential difference  through a
resistance R, the current I(t) in the circuit varies with t according to
I (t ) 

R
e t / RC
with RC being the time constant of the circuit.
The exercise. The electric circuit below is constructed to measure the unknown
capacitance C of a given capacitor using a voltmeter of resistance R = 10M and a battery
with  = 6,19 V. It is then observed the data measured in the voltmeter V as a function of
time t is given in the table below
V (V) T (s)
6,19
0
5,55
4,87
4,93
11,1
4,34
19,4
3,72
30,8
3,09
46,6
2,47
67,3
1,83
102,2
1) Build a graph of ln( 
) as a function of time t.
V
2) Adjust the data using the minimal squares method to find the angular coefficient
of the graph. Write a computer program to perform this calculation.
3) From the results above find the angular coefficient of your graph and obtain a
value for the time constant of the circuit and a value for the capacitance.
4) Consider now that the values for V in the table present an error of 10%. Using
your program, evaluate the new angular coefficient and the new capacitance and
their errors. How was the difference between the two methods?
Atividade 6:
Electric Fields
Electric field. One way to understand the interaction among charged particles is
using the idea of electric fields. Electric fields may be understood as a signal emitted to all
directions by a particle of electric charge q which carries the information of the intensity

and localization of q. Consider a small electric charge of intensity q, the electric field E

measured at a distance r of q is taken to be

E
where
1
1
q
rˆ
4o r 2
 8,99  10 9 Nm 2 / C 2 is the Coulomb´s Constant, determined experimentally.
4o
Superposition Principle. In situations with several charges coexisting in a region,
the superposition principle says that the resulting electric field due to all charges q i has to
be summed up over all contributions as follows
n 

E R   Ei
i 1

where the E i are the electric fields of each charge qi.
Electric radiation. In regions where the intensity of electric currents are large (like
in transmission lines), one of the more important issues is the electromagnetical radiation
emitted by the currents that can affect life forms and other electronic devices at the vicinity.
To stay only with the medical problems itself, it is said the exposition of men under strong
magnetic fields over a large amount of time can cause cancer among other diseases. In
some countries there exists specific legislation about the maximum intensity of magnetic
radiation that can be emitted by a transmission line in order to minimize such effects on the
people who lives near it.
The exercise. Consider a simple model of transmission line consisting of four
conducting wires each one transmitting a current I, as the figure below shows. Consider that
at a given time t, each line is energized with a linear charge density λ given by

I
vd
where vd is the drift velocity of the electrons in the wire.
1) Research about the drift velocity of the electrons and find an estimative for vd
for a copper wire.
2) Using the Gauss´s Law, show that the expression for the electric field of a very
long wire (make the assumption that the wire is infinite) transmitting a current I
at a distance d of the wire in given by
E

2 o d
3) Find the expression above using regular integration, i.e.,

E
1
dq
4o
r
2
rˆ
4) Write a computer program that evaluates the resulting electric field of the
transmission line in all space. Consider that the direction of the currents
determines the signal of the charges in the wires.
5) Draw a graph of Eh, were h is the height from the ground.
I 
I
I
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OBS: Bear in mind that this example is only a toy model since a electric current is
made of moving charges and, therefore, an electromagnetic field is formed, rather than
only an electric field.
8) BIBLIOGRAFIA
i.
[Lezana etal] Álvaro G. Rojas Lezana et al, Formação do Engenheiro,
Organizadores: Irlan von Linsingen et al. Editora da UFSC, 1999.
ii.
[García-Raffi] García-Raffi, L. M., Sánchez-Pérez, E. A., MartinezGiménez, F., Dos ejemplos de introducción de los métodos de simulación Monte Carlo em
los primeros cursosde las carreras técnicas, Lecturas Matemáticas (Colômbia) 20, (1999)
7-28.
iii.
[Sánchez-Pérez] Sánchez-Pérez, E. A., García-Raffi, L. M., Sánchez-Pérez,
J. V., Introducción de las técnicas de modelización para el estúdio de la física y de las
matemáticas en los primeros cursos de las carreras técnicas, Enseñanza de las Ciencias
17(1), (1999) 119-129.
iv.
Moysés Nussenzveig, H., Curso de Física Básica, volume 2, Ed. Edgard
Blücher Ltda. (2002).
v.
Moysés Nussenzveig, H., Curso de Física Básica, volume 3, Ed. Edgard
Blücher Ltda. (2002).
vi.
H. L. Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, Vol. 1, Ed. LTC (2001).
vii.
H. L. Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, Vol. 2, Ed. LTC (2001).
viii. Halliday Resnick Walker, Fundamentos de Física, Vol.3 Eletromagnetismo,
Ed.LTC Ltda.(6ªedição).