Download 2- Teori Peluang - Perkuliahan dan lain

2
Teori Peluang
1
Percobaan Acak
Tujuan: untuk memahami, mengukur dan memodelkan
keragaman yang mempengaruhi perilaku fisik suatu sistem.
- Model digunakan untuk menganalisis/memprediksi perilaku
sistem dan outputnya ketika input dirubah.
- Dengan percobaan dilakukan verifikasi terhadap prediksi tsb.
Figure 2-1 Continuous iteration between model and physical system.
2
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Gangguan/Noise yang Menghasilkan Keragaman
Output
Nilai random/acak dari variabel gangguan tidak
dapat dikontrol
Menyebabkan keragaman acak pada variabel output.
Walaupun input konstan, output akan bervariasi.
Figure 2-2 Noise variables affect the transformation of inputs to outputs.
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
3
Percobaan Acak
• Percobaan yang dilakukan untuk memperoleh
hasil yang tidak dapat diketahui
• Percobaan tersebut sudah didasari pada
hukum tertentu yang bisa dikontrol
• Hasil percobaan akan selalu berbeda jika
dilakukan berulang-ulang walaupun dilakukan
dengan cara dan situasi yang sama.
4
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Sifat acak Mempengaruhi Hukum Alam/Fisika
Menurut hukum Ohm, kekuatan arus adalah fungsi
linier dari voltase (I=V/R)
- Walaupun voltase dibuat konstan, arus akan tetap
bervariasi akibat adanya variabel gangguan/noise
Figure 2-3 A closer examination of the system identifies deviations from
the model.
5
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Ruang Sampel
• Percobaan acak mempunyai hasil yang unik.
• Himpunan seluruh hasil yang mungkin disebut
dengan ruang sampel S.
• S bersifat diskrit ketika himpunan tersebut
beranggotakan hasil yang dapat dicacah
dengan jumlah terbatas.
• S bersifat kontinyu jika himpunan tersebut
berupa interval (terbatas maupun tak hingga)
dari bilangan riil.
Sec 2-1.2 Sample Spaces
6
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Mendefinisikan ruang sampel
• Memilih secara acak dan mengukur ketebalan suatu
komponen:
– S = R+ = {x|x > 0}, garis bilangan positif.
– Ketebaan negatif tidak mungkin
– Bersifat kontinyu
• Diketahui bahwa ketebalannya di antara 10 dan 11 mm
– S = {x|10 < x < 11}
– Bersifat kontinyu
• Diketahui bahwa ketebalan hanya punya tiga kategori:
– S = {low, medium, high}
– Bersifat diskrit
• Jika yang diamati adalah spesifikasi dari ketebalan
memenuhi standar atau tidak
– S = {yes, no}
– Diskrit
7
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Identifikasi Ruang Sampel dengan Diagram Pohon
Contoh: Mobil baru dilengkapi dengan beberapa pilihan sbb:
1. Transmisi manul atau otomatis
2. Dengan atau tanpa AC
3. Tiga pilihan stereo sound systems
4. Empat pilihan warna interior
Figure 2-6 Diagram pohon untuk konfigurasi/pilihan
mobil yang berbeda. Maka S beranggotak 2*2*3*4 =
48 kemungkinan.
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
8
Kejadian adalah Himpunan dari Hasil Percobaan
• Suatu kejadian (E) adalah himpunan bagian dari
ruang sampel suatu percobaan:
– Satu atau lebih hasil percobaan di dalam ruang sampel.
• Kejadian-kejadian dapat dioperasikan sbb:
– Gabungan (union) dari dua kejadian E dan F: E ⋃ F
– Himpunan dari seluruh hasil percobaan di E atau di F
atau di kedua-duanya
– Irisan (intersection) dari dua kejadian E dan F : E ∩ F
– Himpunan dari seluruh hasil percobaan yang berada di E
dan di F
– Komplemen suatu kejadian E: seluruh komponen ruang
sampel yang tidak termasuk di E: E’
9
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
DiagramVenn Menunjukkan Hubungan antar
Kejadian
Figure 2-8 Venn diagrams
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
10
Diagram Venn untuk Kejadian Saling Lepas
•Jika kejadian A dan B tidak mempunyai komponen atau hasil
yang sama maka keduanya saling lepas (mutually exclusive).
•A B=Ø
Figure 2-9 Mutually exclusive events
11
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Counting Techniques (Mencacah ruang sampel)
• Untuk mencacah komponen suatu kejadian
dan ruang sampel.
• Tiga metode:
1. Kaidah perkalian
2. Kaidah permutasi
3. Kaidah kombinasi
12
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Kaidah Perkalian
• Misal: suatu prosedur operasi dengan k
langkah di mana setiap langkah terdiri dari:
• n1 cara menyelesaikan langkah 1,
• n2 cara menyelesaikan langkah 2, … dan
• nk cara menyelesaikan cara k.
• Maka terdapat
• n1 * n2*…*nk cara untuk melakukan prosedur operasi
tsb.
Sec 2-1.4 Counting Techniques
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
13
Contoh:
• Dalam mendesain gear housing, dapat dipilih:
– 4 diameter bolt yang berbeda,
– 3 panjang bolt,
– 2 posisi meletakkan bolt.
• Berapa banyak desain yang mungkin dapat
dibuat?
• 4 *3 * 2 = 24
Sec 2-1.4 Counting Techniques
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
14
Aturan Permutasi
• Urutan yang berbeda dari beberapa komponen
yang dapat dibedakan.
• Jika S = {a, b, c}, maka terdapat 6 permutasi
– abc, acb, bac, bca, cab, cba (urutan penting)
• # permutasi dari sekumpulan n komponen
adalah n!
• Secara definisi: 0! = 1
Sec 2-1.4 Counting Techniques
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
15
Sub-set Permutasi
• Cara mengurutkan r komponen dari n
komponen:
n!
P  n(n  1)(n  2)...(n  r  1) 
(n  r )!
7!
7! 7 *6*5* 4!
7
P3 
 
 7 *6*5  210
4!
 7  3! 4!
n
r
In Excel: permut(7,3) = 210
Sec 2© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
16
Contoh: Desain Circuit Board
• Cetakan circuit board mempunyai 8 lokasi
penempatan komponen.
• Jika 4 komponen berbeda akan diletakkan
pada circuit board tersebut, berapa desain
yang mungkin terbentuk?
• Urutan penting, permutasi dengan n = 8, r = 4.
8!
8*7*6*5*4!
P 

 8*7*6*5  1,680
4!
 8  4 !
8
4
17
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Aturan Kombinasi
• Kombinasi adalah pemilihan r komponen dari
sekumpulan n komponen di mana urutan tidak
penting.
• Jika S = {a, b, c}, n =3, maka akan diperoleh 1
kombinasi saja.
– Jika r =3, terdapat 1 kombinasi: abc
– Jika r=2, terdapat 3 kombinasi: ab, ac, bc
• # permutasi ≥ # kombinasi
n!
C 
r ! n  r !
n
r
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
(2-4)
18
Contoh:
• Sebuah circuit board dengan 8 lokasi
penempatan komponen.
• Akan diletakkan 5 komponen yang tidak dapat
dibedakan pada circuit board tersebut.
• Berapa desain yang mungkin dapat dibuat?
• Karena tidak dapat dibedakan, maka urutan
tidak penting: aturan kombinasi
8!
8*7*6*5!
C 

 56
5!8  5! 3*2*1*5!
8
5
Sec 2-1.4 Counting Techniques
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
19
Peluang
• Peluang adalah kemungkinan bahwa suatu hasil
atau kejadian dari suatu percobaan acak akan
terjadi.
• Berupa angka pada selang [0,1].
• Dapat dinyatakan sebagai
– Proporsi (0.15)
– Persentase (15%)
– Pecahan (3/20)
• Arti dari peluang bernilai
– 1: kejadian pasti
– 0: kejadian yang tidak mungkin
20
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Tipe Peluang
• Peluang subyektif adalah tingkat/derajat kepercayaan
– “terdapat 50% kemungkinan bahwa saya akan belajar malam
ini”
• Frekuensi relatif peluang yang didasarkan pada berapa
sering suatu kejadian terjadi berdasarkan ruang sampel
tertentu
Figure 2-10 Relative frequency of corrupted pulses over a
communications channel
21
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Peluang Berdasarkan Hasil Dengan Kemungkinan yang Sama
• Ketika ruang sampel terdiri dari N hasil dengan
kemungkinan yang sama, maka setiap hasil mempunyai
peluang 1/N.
• Contoh: Di dalam satu kotak berisi 100 bola lampu, 1
bola lampu diberi warna merah. Bola lampu tersebut
dipilih secara acak dari kotak
• Acak  setiap bola lampu mempunyai peluang yang
sama untuk terpilih.
• Peluang untuk memilih bola lampu dengan warna merah
adalah 0.01 (1/100), karena setiap hasil di dalam ruang
sampel mempunyai kemungkinan yang sama.
22
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:
•
Diasumsikan bahwa 30% dari bola lampu di dalam kotak (berisi 100) tadi
memenuhi kualifikasi yang dibutuhkan pelanggan.
– 30 bola lampu memenuhi kualifikasi
– 70 bola lampu tidak memenuhi kualifikasi
•
•
Satu bola lampu dipilih acak. Setiap bola lampu mempunyai peluang sama
untuk terpilih (sebesar 0.01).
Peluang bahwa yang terpilih adalah bola lampu dengan kualifikasi baik adalah:
30  0.01  0.3
Figure 2-11 Probability of the event E is the sum of the probabilities
of the outcomes in E.
Sec 2-2 Interpretations & Axioms of Probability
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
23
Peluang suatu Kejadian
• Untuk ruang sampel diskrit, peluang suatu
kejadian E, dinotasikan dengan P(E):
– Jumlah peluang seluruh kejadian yang ada di E.
• Ruang sampel diskrit dapat berupa:
– Hasil percobaan berupa himpunan berhingga.
– Hasil percobaan berupa himpunan tak hingga akan
tetapi dapat dicacah.
• Penjelasan lebih detil dibutuhkan untuk
menggambarkan peluang yang sehubungan
dengan ruang sampel kontinyu.
24
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Peluang Suatu Kejadian
• Suatu percobaan acak mempunyai ruang sampel
{w,x,y,z}.
• Hasil di dalam ruang sampel ini tidak mempunyai
kemungkinan yang sama,
• Peluang masing-masing hasil secara berturutturut: 0.1, 0.3, 0.5, 0.1.
• Kejadian A ={w,x}, kejadian B = {x,y,z}, kejadian C
= {z}
• P(A) = 0.1 + 0.3 = 0.4
• P(B) = 0.3 + 0.5 + 0.1 = 0.9
• P(C) = 0.1
25
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• S={w,x,y,z}.
• Peluang masing-masing hasil secara berturut-turut: 0.1, 0.3,
0.5, 0.1.
• Kejadian A ={w,x}, kejadian B = {x,y,z}, kejadian C = {z}
• Kejadian A’ ={y,z}, kejadian B’ = {w}, kejadian C’ = {w,x,y}
• P(A’) = 0.5+0.1 = 0.6
• P(B’) = 0.1
• P(C’) = 0.9
• Karena kejadian A B = {x}, maka:
– P(A B) = 0.3
• Karena kejadian A B = {w,x,y,z}, maka:
– P(A B) = 1.0
• Karena kejadia A C = {null}, maka:
– P(A C ) = 0.0
Sec 2© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
26
Contoh: Partikel Kontaminasi
• Dilakukan pemeriksaan terhadap keping
semikonduktor.
• Sebuah keping semikonduktor diambil secara acak.
• E adalah kejadian memilih
keping tanpa partikel
kontaminasi
•P(E) = 0.40
•F adalahkejadian memilih
keping dengan 3 atau lebih
partikel kontaminasi:
•P(F) = 0.10+0.05+0.10 = 0.25
Jumlah Partikel Proporsi
kontaminasi
keping
0
0.40
1
0.20
2
0.15
3
0.10
4
0.05
5 atau lebih
0.10
Total
1.00
27
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Aksioma Peluang
• Peluang adalah angka yang bersesuaian dengan
masing-masing anggota suatu kejadian hasil
percobaan acak.
• Dengan sifat-sifat berikut
•
1. P(S) = 1
2. 0 ≤ P(E) ≤ 1
3. Untuk setiap kejadia E1 dan E2 di mana E1 E2 = Ø,
P(E1 E2) = P(E1) + P(E2)
Berimplikasi:
– P(Ø) =0 and P(E’) = 1 – P(E)
– Jika E1 himpunan bagian dari E2, maka P(E1) ≤
P(E2).
28
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Aturan Lain
• Beberapa kejadian dapat dioperasikan sbb:
– Gabungan: A B
– Irisan: A B
– Komplemen: A’
• Peluang dari hasil operasi di atas dapat
ditentukan dari peluang masing-masing
kejadian yang menyusunnya.
Sec 2-3 Addition Rules
29
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:
• Dari 940 keping konduktor dengan karakteristik yang
disajikan pada tabel 2-1.
• Akan diambil 1 secara acak
• H adalah kejadian di mana terdapat kontaminasi
dengan konsentrasi tinggi.
– Maka P(H) = 358/940.
• Peluang bahwa keping terambil bertipe C:
– P(C) = 626/940.
Table 2-1
Kontaminasi
Low
High
Total
Tipe
C
514
112
626
E
68
246
314
Total
582
358
940
30
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• Peluang bahwa terambil keping dengan
kontaminasi konsentrasi tinggi dan bertipe C:
– P(H C) = 112/940
Peluang bahwa terambil keping dengan kontaminasi
konsentrasi tinggi atau bertipe C:
P(H C) = P(H) + P(C) - P(H C)
= (358+626-112)/940
Table 2-1
Kontaminasi
Low
High
Total
Tipe
C
514
112
626
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
E
68
246
314
Total
582
358
940 31
• Peluang gabungan dua kejadian
P( A B)  P  A   P  B   P  A B 
(2-5)
and, as rearranged:
P  A B   P  A  P  B   P  A B 
• Jika dua kejadian A dan B saling lepas maka
P  A B  
therefore:
P  A B   P  A  P  B 
(2-6)
32
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:
• Proporsi keping konduktor dengan jumlah kontaminasi untuk
setiap tipe disajikan pada Tabel 2-2.
• E1 adalah kejadian bahwa keping mempunyai 4 atau lebih partikel
kontaminasi:
• P(E1) = 0.05+0.1=0.15
• E2 adalah kejadian bahwa keping terambil bertipe E.
• P(E2) = 0.28
Jumlah
Partikel
Kontaminasi
0
1
2
3
4
5 atau lebih
Totals
Table 2-2
Tipe
C
E
Total
0.30
0.10
0.40
0.15
0.05
0.20
0.10
0.05
0.15
0.06
0.04
0.10
0.04
0.01
0.05
0.07
0.03
0.10
0.72
0.28
1.00
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
33
– Kejadian di mana keping terambil terkontaminasi 4 atau lebih
partikel dan bertipe E adalah irisan antara E1 dan E2:
• P(E1 E2) = 0.01+ 0.03=0.04
•Kejadian di mana keping terambil terkontaminasi >=4 partikel atau
bertipe E adalah kejadian gabungan:
•P(E1 E2) =0.15 + 0.28 – 0.04 = 0.39
Jumlah
Partikel
Kontaminasi
0
1
2
3
4
5 atau lebih
Totals
Table 2-2
Tipe
C
E
Total
0.30
0.10
0.40
0.15
0.05
0.20
0.10
0.05
0.15
0.06
0.04
0.10
0.04
0.01
0.05
0.07
0.03
0.10
0.72
0.28
1.00
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
34
Diagram Venn Dari Kejadian-kejadian Saling Lepas
- Jika kejadian-kejadian tersebut saling lepas maka
setiap hasil hanya terjadi pada satu kejadian
- Tidak terdapat irisan dari dua atau lebih kejadian.
35
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh
• Jika X adalah variabel yang menyatakan pH dari
suatu sampel.
• Peluang suatu kejadian di mana pH bernilai lebih
dari 6.5 dan paling tinggi 7.5:
• 6.5< X ≤ 7.5
• Dapat dibagi menjadi dua kejadian saling lepas
– 6.5 < X ≤ 7.0 dan 7.0 < X ≤ 7.5
• Karena saling lepas maka peluangnya dapat
ditambahkan:
– P(6.5 < X ≤ 7.5) =P(6.5 < X ≤ 7.0) + P(7.0 < X ≤ 7.5)
36
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Kejadian Saling Bebas
• Dua kejadian saling bebas jika berlaku:
P(A B) = P(A)*P(B)
Hal ini berarti bahwa terjadinya satu kejadian tidak
mempengaruhi terjadinya kejadian lain.
Sec 2-6 Independence
37
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:
• Dari 850 produk hasil suatu proses produksi terdiri dari 50 produk
cacat
• Dua produk diambil satu per satu secara acak
• Pengambilan pertama dikembalikan sebelum pengambilan produk
kedua.
• A adalah kejadian di mana pengambilan pertama adalah produk
rusak:
– P(A) = 50/850
• B adalah kejadian di amna pengambilan kedua adalah produk rusak:
– P(B) = 50/850
• Karena dilakukan pengembalian sebelum diambil produk kedua
maka apa yang terjadi di pengambilan pertama tidak
mempengaruhi pengambilan kedua.
• Hukum kebebasan berlaku:
• Peluang bahwa produk rusak terambil pada pengambilan pertama
dan kedua:
– P(A)*P(B) = 50/850 *50/850 = 0.0035.
38
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Kebebasan Untuk Lebih dari Dua kejadian
Kejadian E1, E2, … , Ek adalah saling bebas jika dan
hanya jika:
P(E1 E2 … , Ek) = P(E1)* P(E2)*…* P(Ek) (2-14)
39
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Sirkuit Seri
•Sirkuit ini hanya dapat bekerja jika masing-masing komponen
berfungsi semua dari kiri ke kanan. Peluang berfungsi dengan baik
untuk masing-masing komponen dapat dilihat pada gambar.
•Jika diasumsikan bahwa kegagalan komponen tidak saling
mempengaruhi satu sama lain, berapa peluang bahwa sirkuit
dapat berfungsi?
Jika L & R menyatakan kejadian komponen kiri dan kanan dapat
berfungsi. Maka peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi adalah:
P(L R) = P(L) * P(R) = 0.8 * 0.9 = 0.72.
40
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Sirkuit Parallel
Sirkuit pararel dapat beroperasi jika salah satu komponen dapat
berfungsi.
Sirkuit gagal bekerja jika semua komponen gagal berfungsi.
Peluang komponen dapat bekerja disajikan pada gambar.
Masing-masing beroperasi secara bebas.
T & B adalah kejadian di mana komponen atas dan bawah
berfungsi.
Peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi adalah komplemen dari
semua komponen gagal berfungsi.
41
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• Peluang komponen Atas gagal berfungsi:
– P(T’)=1-0.95 = 0.05
• Peluang komponen Bawah gagal berfungsi:
– P(B’)=1-0.95 = 0.05
• Peluang kedua komponen gagal berfungsi:
– P(T’
B’) = P(T’)*P(B’) = 0.052 = 0.0025
42
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• Peluang sirkuit dapat berfungsi adalah
• P(T B) = 1 - P(T’∩ B’) =1- 0.052 = 0.9975
43
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Peubah acak (Random Variables)
• Peubah yang memetakan hasil suatu percobaan
acak pada suatu angka tertentu dinamakan
peubah acak.
• Peubah acak adalah fungsi yang memetakan
bilangan riil pada setiap hasil percobaan acak
yang ada di ruang sampel.
• Dinotasikan dengan X.
• Setelah percobaan dilakukan, hasil
pengukuran/pengamatan dari variabel tersebut
akan diketahui=
• Dinyatakan dengan x = 70.
– P(X=x)=P(X=70).
Sec 2-8 Random Variables
44
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.