Download Document 7996463

28/09/2012
SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS
Sample space,Ω,
space Ω adalah sekumpulan semua sample points,ω,
points ω yang mungkin; dimana
ω∈Ω
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:Ω={Gambar,Angka}
Contoh 2. Menggelindingkan dadu: Ω={1,2,3,4,5,6}
Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian: Ω={0,1,2,…}
Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time): Ω={x∈ℜ⏐x>0}
Events A,B,C,… ⊂ Ω adalah himpunan bagian dari sample space
ƒ Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6}
ƒ Contoh 2
2. Tidak ada pelanggan yang
ang mengantri : A={0}
A {0}
ƒ Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={x∈ℜ⏐x>3}
Event yang pasti : sample space Ω
Event yang tidak mungkin : himpunan kosong (∅)
2
1
28/09/2012
KOMBINASI EVENT
Union (gabungan) :“A atau B” : A∪B={ω∈Ω⏐ω∈A atau ω∈B}
Irisan: “A dan B” : A∩B={ω∈Ω⏐ω∈A dan ω∈B}
Komplemen : “bukan A”:Ac={ω∈Ω⏐ω∉A}
Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : A∩B=∅
Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi dari event A jika
ƒ (i) Bi ∩ Bj=∅ untuk semua i≠j
ƒ (ii) ∪iBi =A
3
Back to Six
PROBABILITAS (PELUANG)
Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A)
P(A)∈[0,1]
Sifat-sifat peluang
4
2
28/09/2012
CONDITIONAL PROBABILITY
(PELUANG BERSYARAT)
Asumsikan bahwa P(B)>0
Definisi : Conditional probability dari suatu event
A bila diketahui event B terjadi didefinisikan
sebagai berikut
Dengan demikian
5
TEOREMA PROBABILITAS TOTAL
Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Ω
Lalu {A∩Bi} merupakan partisi dari event A, maka
berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh
pada slide nomor 4
Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk
semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide
nomor 5 dapat didefinisikan teorema
probabilitas total sbb
6
3
28/09/2012
TEOREMA BAYES
Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Ω
Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide
nomor 5
Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh
Ini merupakan teorema Bayes
ƒ Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi
ƒ Peluang P(Bi⏐A) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila diketahui
event A terjadi)
7
KESALINGBEBASAN STATISTIK DARI EVENT
(STATISTICAL INDEPENDENCE OF EVENT)
Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika
Dengan demikian
Demikian pula
8
4
28/09/2012
PEUBAH ACAK (RANDOM
VARIABLES)
Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil
[real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat
diukur yang didefinisikan pada sample space Ω;X: Ω
→ℜ
ƒ Setiap titik sample (sample points) ω∈Ω dihubungkan dengan
sebuah bilangan riil X(ω)
ƒ Dengan kata lain : memetakan setiap titik sample ke sebuah
bilangan riil menggunakan peubah acak X
9
CONTOH
Sebuah koin dilempar tiga kali; setiap lemparan
akan menghasilkan head (H) atau tail (T)
Sample space:
Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail
(T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin
tersebut maka :
tersebut,
10
5
28/09/2012
PROBABILITY DISTRIBUTION
FUNCTION (PDF)
Definisi : PDF dari suatu p
peubah acak X adalah fungsi
g FX: ℜ → [[0,1]
, ] yyangg didefinisikan
sebagai berikut
PDF menentukan distribusi dari peubah acak
Sifat
11
KESALINGBEBASAN STATISTIK DARI PEUBAH ACAK
(STATISTICAL INDEPENDENCE OF RANDOM VARIABLES)
Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y
Definisi : Peubah acak X1, …,Xn saling bebas jika untuk semua i dan xi
12
6
28/09/2012
PEUBAH ACAK DISKRIT
Definisi : himpunan A⊂ℜ disebut diskrit bila
ƒ Terbatas : A={x1,…,xn}, atau
ƒ Tak terbatas : A={x1,x2,…}
Definisi : p
peubah acak X disebut diskrit bila terdapat
p sebuah himpunan
p
diskrit Sx⊂ℜ
sedemikian hingga
Maka
ƒ P{X=x} ≥ 0 untuk semua x ∈ Sx
ƒ P{X=x} = 0 untuk semua x ∉ Sx
Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)
13
PELUANG TITIK (POINT
PROBABILITIES)
Misalkan X adalah p
peubah acak diskrit
Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi
Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi pX: ℜ → [0,1] yang
didefinisikan sbb
Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step
14
7
28/09/2012
CONTOH
15
KESALINGBEBASAN PEUBAH ACAK
Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua
xi∈SX dan yj∈Sy
16
8
28/09/2012
EKSPEKTASI (HARAPAN,RATAAN)
Definisi : Harga
g ekspektasi
p
((rata-rata/mean
/
value)) dari X dinyatakan
y
oleh
Sifat-sifat
17
VARIANCE
Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb
Rumus yang bermanfaat
Sifat-sifat
18
9
28/09/2012
COVARIANCE
Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb
Rumus yang bermanfaat
Sifat-sifat
19
PARAMETER LAIN YANG BERHUBUNGAN
DENGAN DISTRIBUSI
Deviasi standard dari X
Momen ke-k dari X
20
10
28/09/2012
DISTRIBUSI BERNOULLI
Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang
mungkin
ƒ Sukses (1)
ƒ Gagal (0)
Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 berpeluang (1-p))
21
DISTRIBUSI BINOMIAL
Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masingmasing eksperimen bersifat Bernoulli);
22
11
28/09/2012
DISTRIBUSI GEOMETRIK
Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan
yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas
(masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli)
ƒ p = peluang sukses dalam suatu eksperimen
23
DISTRIBUSI POISSON
Limit dari distribusi binomial dimana n →∞ dan p → 0,, sedemikian hingga
gg np
p→a
24
12
28/09/2012
CONTOH
Asumsikan
ƒ 200 pelanggan terhubung ke sentral lokal
ƒ Trafik setiap pelanggan adalah 0.01
ƒ Pelanggan saling bebas
Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01)
Pendekatan Poisson X ≈ Poisson(2,0)
Peluang titik
25
PEUBAH ACAK KONTINU
Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat
diintegralkan fX:ℜ→ℜ+, sedemikian hingga untuk semua x∈ℜ
Fungsi fX disebut probability density function (pdf)
ƒ Himpunan SX, dimana fX>0 disebut value set
Sifat-sifat
26
13
28/09/2012
CONTOH
27
EKSPEKTASI DAN PARAMETER LAIN
Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb
ƒ Note 2: Jika
, maka
ƒ Sifat sama dengan distribusi diskrit
Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi
diskrit
28
14
28/09/2012
DISTRIBUSI UNIFORM (X~U(A,B),
A<B)
29
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL (X~EXP(Λ),
Λ>0)
Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal ≈ λdt)
30
15
28/09/2012
LATIHAN
1. Diketahui peubah acak kontinue memiliki pdf sbg berikut fx(x)=cx-3.
1.Hitunglah c.
2.Mean dari peubah acak tsb.
3.Fx(X)
2. Ukuran paket data pd internet dapat dimodelkan sbg peubah acak pareto yang
1
Fx ( x) = Pr ( X ≤ x) = 1 − a , x ≥ 1, a > 0
memiliki persamaan,
x
1.Tentukan pdf dr peubah acak x
2.Tentukan expected value dari x.
3.Tentukan rentang nilai a agar expected value memiliki harga.
31
16