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MATHEMATICS 201-NYA-05
Differential Calculus
Martin Huard
Fall 2013
XIII – Inverse Trigonometric Functions
1. Evaluate exactly. (Do NOT use a calculator.)
a)
arcsin1
b)
arcsin
 
c)
arccos  1
d)
arctan1
e)
arccos   12 
f)
arctan 3
g)
arctan
h)
arcsin
i)
arccos 0
j)
arcsec 2
k)
arccsc  2 
l)
arccot  3
c)
arcsin  sin 76 
3
3
 2
2
3
2
2. Find the exact value of each expression.
a) sin  arcsin 52 
b) sin  arctan 43 




d)
arccos  cos 127 
e)
sec  arcsin 43 
f)
sec arccsc 2
g)
cos  arctan  2 
h)
arccos  cos 3 
i)
sin  2arccos 53 
3. Complete the identities.
a) sin  arccos x   ?
b)
cos  arctan x   ?
c)
cot  arccsc x   ?
sin  arctan x   ?
e)
tan  arccot x   ?
f)
tan  arccos x   ?
d)
4. Prove the following identities.
a) arcsec x  arccos 1x if x  1
b) arccot x  arctan 1x if x  0
dy
.
dx
a) y  arcsin 4 x
b)
y  arctan x 2
c)
y  arcsec x3
d)
y  arccot x
e)
y  arcsec
f)
y  arcsin 1x
g)
y  x arccos  2 x   12 1  4 x 2
h)
y  arcsin x  arccos x
j)
y  x 2  arccos x 
l)
x arcsin y  x  y
n)
arcsec x  arccsc y  2
5. Find
i)
k)
m)
1
1  x2
arcsec x
x2  1
y  x12 arctan  5x 
y
arcsin  xy   arccos  xy 
3
XIII – Inverse Trigonometric Functions
Math NYA
6. Find the equation of the tangent line at the given point for the following curves.
a) y  arctan  2 x  at x  12
b)
f  x   xe
arcsin  3x 
at x  16
 x 
7. Find all points where the function f  x   arcsin  2
 has a horizontal tangent.
 x 1
8. Find f   x  if
a)
f  x   arctan x
b)
f  x   arcsec x 2
9. Find f   x  if f  x   arcsec  e x 
Fall 2013
Martin Huard
2
XIII – Inverse Trigonometric Functions
Math NYA
ANSWERS
1.
2.
a)
g)

2

6
b)
h)

3
c) 
i) 2
a)
2
5
b)
4
5
c)
h)

3
g)
3.
5
5

4
a) sin  arccos x   1  x 2
x
d) sin  arctan x  
4.
i)
a) Let arcsec x  
Then sec   x
1
cos
1  x2
d) 4
j) 4

6
d)
e)
k)
2
7
b) cos  arctan x  
1
f) 2
1 x
c) cot  arccsc x   x 2  1
2
1
1  x2
f) tan  arccos x  
x
x
b) Let arccot x  
Then cot   x
e) tan  arccot x  
1
tan 
1
x
  arccos  1x 
x
1
x
  arctan  1x 
tan  
Thus arccot x  arctan 1x
dy
3
c)

dx x x 6  1
dy
1
f)

dx x x 2  1
dy
2x

dx 1  x 4
dy
1
e)

dx
1  x2
b)
2
2
dy x  1  4 x x  1arcsec
i)

2
dx
2 x x  1  x 2  1
h)
 x
dy
0
dx

2
dy x  arccos x  2 1  x arccos x  3x

j)
dx
1  x2
2
k)
dy 2 x 2 arctan 5x  50arctan 5x  5 x

dx
x 3  x 2  25
1  y 2 1  arcsin y 
dy
l)

dx
x  1 y2
m)
dy  y

dx
x
n)
6.
a) y  x  12  4
8.
a) f   x  
9. f   x  
Fall 2013
e2 x
x
e
e

2x


b) y  2e 6 3  3 x 
2 x
2
 1
2x
 2
 1
2

3
5
6
24
25
cos  
5.
f)
l)
e) 4 7 7
x
Thus arcsec x  arccos 1x
dy
4
a)

dx
1  16 x 2
dy
1
d)

dx 2 x 1  x 
dy
g)
 arccos  2 x 
dx
2
3
7
6
3
3

dy y y 2  1

dx x x 2  1

e6
b) f   x  
7.
 1, 6  and 1, 6 
2  6 x4
x 2  x 4  1
3
2
5
2
Martin Huard
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